随机过程初步

1. 定义

设 (Ω,F,P) 是一个概率空间，对每个 t∈T（时间集），Xt(w) 是定义在其上取值于 (S,B) 上的随机变量（每一个不同的 t，对应一个不同的随机变量，随机过程是随机变量关于时间的函数），则称 {Xt;t∈T}为 T 上的一个随机过程。

• t 是时间，可以连续，也可为离散；
• X 为状态，可以连续，也可为离散；
• 掷硬币（离散状态），电压值的变化（连续状态）

一般我们在理解时，成 Xt 是过程在时刻 t 的状态，Xt 的取值范围 S 为状态空间，它不一定为实数空间，根据 T 和 S 的类型不同，又可将随机过程分为不同的类型。

时间集的不同类型：

• [0,∞)：从当前时刻向前延伸；
• (−∞,∞)：既可以向前，也可以向后；
• (a,b)：某一个时间段（当然也可以是闭集合）
• {0,1,…,n}：离散时间（有限或者无限）

2. 多维随机变量与随机过程

• 多维随机变量 (ξ1(w),ξ2(w),…,ξn(w))，其联合分布函数为：

  F(x1,x2,…,xn)=P(ξ1(w)≤x1,ξ2(w)≤x2,…,ξn(w)≤xn)

  不同的随机变量的联合；

• 随机过程，{Xt;t∈T}，不再是分布函数，而是联合分布族（这里族对应的英文概念为 family，之所以称其为族，在于 n 可以变化，n≥1）：

  F(t1,t2,…,tn,x1,x2,…,xn)=P(Xt1(w)<x1,…,Xtn(w)<xn)

  同一随机过程在不同时刻得到不同的随机变量；

3. 联合分布族的性质

• 对称性： 对 (1,2,…,n) 的任一排列 (j1,j2,…,jn) 有：

  F(tj1,tj2,…,tjn;xj1,xj2,…,xjn)=F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)
  
  在 n 个时间点上所取得的 n 个随机变量构成的联合分布（事件的相对顺序对概率没有影响，A\cap B = B \cap AA∩B=B∩A）

• 相容性：对任意 1\leq m\lt n1≤m<n 和 X_1, \ldots, X_n\in RX1,…,Xn∈R 有：

  F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m, \infty, \infty)=F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m)

  F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm,∞,∞)=F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm)
  
  也即是 nn 维退化为 mm 维联合分布；
  证明方法还是根据定义，F(t_1, t_2, \ldots, t_m, t_{m+1}, \ldots, t_n; x_1, \ldots, x_m)=P(X_1\lt x_1, X_2\lt x_2, \ldots, X_n \lt \infty)F(t1,t2,…,tm,tm+1,…,tn;x1,…,xm)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<∞)

4. 随机过程的分类

• 独立增量过程：对任意的 t0<t1<⋯<tn,ti∈T,i=1,2,…,n，如果 Xt1−Xt0,⋯,Xtn−Xtn−1 是独立增量。
  
  • 平稳独立增量过程（平稳就是某种意义上的不变），时间差一定 ⇒
• 平稳过程：
  
  • 强平稳过程：(Xt1+h,Xt2+h,…,Xtn+h) 都是同分布的，也即不随时间单位的平移而改变，也与平移任何的时间单位无关，联合分布都是同分布的；
  • 弱平稳过程：二阶矩过程，任意时间 EX2t<∞，且 C(s,t)=EXsXt−EXsEXt仅依赖于 |t−s| （两个随机变量的协方差）（既然具有平稳性，就要求某个性质不变）；
• 更新过程：是在计数过程（点过程）概念的基础上定义的，也即需对计数过程强加一些新的限制，事件间的时间间隔（t2−t1,t3−t2,…,tn−tn−1）独立同分布；