変分学引入

1. 一个问题

左上角（M0=(x0,y0)）有一小球，如果安排一条光滑曲线，使小球在不受外力的情况下，以最快的的时间顺滑到有下角的 M1=(x1,y1)：

所求的其实是曲线方程，设为 y=y(x)，则其需经过 y0=y(x0),y1=y(x1)，设曲线上任意一点为 (x,y)，到达该位置时，根据动能定理，得此时的瞬时速度为 v=2gy−−−√，同时利用微积分此刻小球的瞬时速度为 v=dsdt（ds：为弧长），进一步，有 v=dsdt=1+y′2√dxdt，所以有：

2gh−−−√=1+y′2−−−−−√dxdt

则总共需要经历的时间为：

T=∫x101+y′2−−−−−√2gy−−−√dx

最终问题可化为：

miny12g−−√∫x101+y′2y−−−−−−√dx,y(0)=0,y(x1)=y1

仍然是求极大极小问题，但求解的对象从某一变量变成了某一函数。