数据结构的时间复杂度与空间复杂度、及相关证明

0. 有向图无向图的时空复杂度

图的时空复杂度与其具体的表示形式有关，对于图的邻接表的表示形式，记 Adj[v] 为顶点 v 的出边构成的列表。为了考量其空间复杂度，首先需要记录全部的顶点，也即即使全部的顶点的出度均为0（顶点间相互孤立），仍然需要 O(V) 的时间复杂度。

• 图是一种连接图，每条边在 list 中仅出现一次，
• 图是无连通图，每条边在 list 中却出现两次；

也即以上两种情况下，全部 list 中的元素之和，不超过边数目的2倍，又由 2E ⇒ O(E)，因此为了记录顶点以及记录边，空间复杂度为 O(V+E)，当然也等于 O(max(V,E))，不妨设 c=2，则 O(max(V,E))=2max(V,E)≥V+E

1. T(n)=T(⌊n√⌋)+1

本质上是看将一个数开多少次平方根，其值才会接近于 1.

n12k=a,1<a<2⇒k=loglogn

显然，loglogn 的时间复杂度要小于 logn，因为 logn<n，而 logx 又是一个单调递减函数。

再来看一道稍微复杂点的情况，T(n)=n√T(n√)+n，等式两边同时除以 n，则可化为：

T(n)n=T(n√)n√+1⇒f(n)=f(n√)+1

由上面的情况可知，f(n)⇒O(loglogn)，因此原始问题的时间复杂度为 O(nloglogn)