非凸问题寻优

• 模拟退火是一个算法框架（framework），而不是一个具体的算法，原因在于，比如从当前状态，x(n) ⇒ x(n+1)，下一个状态该如何选择，可以是梯度下降，也可以是蒙特卡洛，爬山等等；

1. 模拟退火

模拟退火算法（simulated annealing，SA），1983年由 Kirkpatrick 等人提出，并将其成功应用于组合优化问题。“退火”是物理学术语，指对物体加温后再冷却的过程。

模拟退火算法源于晶体冷却的过程，如果晶体不处于最低能量状态，给固体加热再冷却，随着温度缓慢下降，固体中的原子按一定形状排列，形成高密度、低能量的有规则晶体，在算法中对应全局最优解。

而如果温度下降过快（则必然存在一个参数控制温度的升降速度），可能导致原子缺少足够的时间排列成晶体结构，结果产生了具有较高能量的非晶体，这就是局部最优解。

模拟退火算法包含 Metropolis 算法和退火过程两部分。

• Metropolis 算法又叫 Metropolis 抽样，是模拟退火算法的基础，在早期的科学计算中蒙特卡洛方法（Monte Carlo）是对大量原子在给定温度下的平衡态的随机模拟，当蒙特卡洛算法计算量偏大。

2. 退火算法的参数控制

Metropolis 算法是模拟退火算法的基础，但直接使用 Metropolis 算法可能会导致寻优的速度太慢，以至于无法实用。为了确保算法在有限时间收敛，必须设定控制算法收敛的参数。

p={1,exp−E(n+1)−E(n)T,E(n+1)<E(n)E(n+1)≥E(n)

上述公式中可调节的参数是控制退货快慢的参数 T：

• T 如果过大，就会导致退火太快，达到局部最优即迭代结束，
• 如果取值过小，则会延长不必要的搜索时间；

在实际应用中，采用一个退火温度表，在退火的初期采用较大的 T 值，随着退火的进行，逐步降低。