方阵的迹（trace）及其微分（导数）

• trace 的一个十分重要的性质在于线性性，

  Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)Tr(cA)=cTr(A)

1. 基本性质

• Tr(A)=Tr(AT)
• Tr(AB)=Tr(BA)
• Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
  
  • 因此如果 A 和 C 互逆的话，三者相乘的 Trace，等于中间方阵的 Trace；

2. 拓展

∇ATr(AB)=BT

• 试证明，∇ATr(ABATC)=CAB+CTABT

  
  
  

  反复利用求导的链式法则，以及 ∇ATr(AB)=BT，还有 Tr(A)=Tr(AT) 等基本等式，进行替换或简化。

  Some Important Properties for Matrix Calculus
  With(out) A Trace Matrix Derivatives the Easy Way