多类 SVM 的损失函数及其梯度计算

CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition —— optimization

1. 多类 SVM 的损失函数（Multiclass SVM loss）

在给出类别预测前的输出结果是实数值， 也即根据 score function 得到的 score（s=f(xi,W)），

Li=∑j≠yimax(0,sj−syi+Δ),Δ=1（一般情况下）

• yi 表示真实的类别，syi 在真实类别上的得分；
• sj,j≠yi 在其他非真实类别上的得分，也即预测错误时的得分；

则在全体训练样本上的平均损失为：

L=1N∑i=1NLi

delta = 1
scores = np.dot(W, X)
correct_scores = scores[y, np.arange(num_samples)]

diff = score - correct_scores + delta
diff[y, np.arange(num_samples)] = 0

thresh = np.maximum(0, diff)
loss = np.sum(thresh)
loss /= num_samples

2. 优化（optimization）：梯度计算

首先来看损失函数的定义，如下为第 i 个样本的损失值（Wc×d⋅Xd×N，d 特征向量的维度，c：输出类别的个数）：

Li==∑j≠yimax(0,sj−syi+1)∑j≠yi[max(0,wTjxi−wTyixi+1)]

• 遍历 j，就是遍历 W 每一列的每一个元素， wTjxi⇒j=1,…,c;i=1,…,N
• wTj 表示 W 的每一行，共 c 行；

下面的额关键是如何求得损失函数关于参数 wj,wyi 的梯度：

∇wyiLi=−⎛⎝∑j≠yi1(wTjxi−wTyixi+Δ>0)⎞⎠xi∇wjLi=1(wTjxi−wTyixi+Δ>0)xij≠yi

binary = thresh 
binary[thresh > 0] = 1          # 实现 indicator 函数

col_sum = np.sum(binary, axis=0)
binary[y, np.arange(num_samples)] = -col_sum

dW = np.dot(binary, X.T)        # binary 维度信息：c*N, X 维度信息：d*N
dW /= N

dW += reg * W