边缘独立（marginal independent）的理解及举例

1. 定义

∀xi∈dom(X),yj∈dom(Y),yk∈dom(Y)，如果满足，

P(X=xi|Y=yj)==P(X=xi|Y=yk)P(X=Xi)

则称随机变量 X 边缘独立于随机变量 Y。

理解：

• 也即随机变量 Y 的值对 X 的值没有影响；

2. 举例

Marginal independence v.s. joint independence

• 问，X 独立于 Y，X 独立于 Z，X 是否独立于 (Y,Z)？
  
  • 直觉上命题似乎是正确的，答案是否定的，
  • 考虑这样的一个 2 男 2 女共 4 人构成的样本空间，其中两女首字母的缩写分别是 A.C. 和 B.D.，两难首字母的缩写分别是 A.D. 和 B.C，随机从中抽取一个人出来，则可定义如下的事件：
    
    • X：选中的人的性别；
    • Y：选中人的姓名的第一个首字母；
    • Z：选中人的姓名的第二个首字母；
    • (Y,Z) ⇒ X，显然不是独立的；