数学归纳法在数据结构与算法分析设计中的应用

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

• 证明当 n= 1 时命题成立。
• 假设 n=m 时命题成立，那么可以推导出在 n=m+1 时命题也成立。（m代表任意自然数）

1. 图

• 设 G=(V, E) 为一个有向图或无向图，假定 BFS 以给定结点 s∈V 作为源节点在图 G 上运行。则在 BFS 终结时，对于每个结点 v∈V，BFS 计算得到的 v.d 满足 v.d≥δ(s,v)（δ(s,v)：s 到 v 的最短路径，v.d：以 BFS 的方式从源点出发到 v 之间的距离）。

  以数学归纳法的方式进行证明，此外还需理解的细节即是，BFS 的方式需借助先进先出的队列，其最核心的两个操作，enqueue 与 dequeue。我们的归纳假设是：对于所有的结点 v∈V，v.d≥δ(s,v)

  enqueue(G, u)，从结点 u 进行邻接表搜索时发现了结点 v（u 可以到 v，根据三角不等式性，δ(s,v)≤δ(s,u)+1），根据归纳法假设有 u.d≥δ(s,u)，根据符号 .d 的定义知，v.d=u.d+1，因此：

  v.d=u.d+1≥δ(s,u)+1≥δ(s,v)

• 证明：任意连通无向图 G=(V,E) 满足 |E|≥|V|−1

  • 当只有一个顶点时，|E|=0,|V|=1，显然成立；
  • 因为是连通的，故取出一个顶点（|V′|=|V|−1），以及与之相连的边（不只一个 |E|≥1+|E′|），构成一个新的子图 G′=(V′,E′)，根据数学归纳法，则有：

|E|≥1+|E′|⇓|E|≥1+|E′|≥|V′|−1+1⇓|E|≥1+|E′|≥|V′|+1−1⇓|E|≥1+|E′|≥|V|−1⇒|E|≥|V|−1