图的度与握手定理

在一个教职工聚会上，与会者互相握手问候彼此，每位教授会记住他/她握手的次数（以图做建模，不同的教授代表不同的点，握手表示一个边的建立，两个顶点的连接，显然是无向图，A 与 B 握手 = A 同 B 握手 + B 同 A 握手）。在聚会的最后，系主任将所有教授握手的次数相加。通过证明下面的握手定理来说明系主任得到的结果是偶数：如果 G=(V,E) 是无向图，则有：

∑v∈Vdegree(v)=2|E|

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首先定义一些记号：

f(u,v)={ 1,u shook hands with v0,not

因此，

∑v∈Vdegree(v)=∑v∈V∑u∈Vf(u,v)

因为握手的动作是对称的，在加和统计时，分别计算了 u 与 v 握手以及 v 与 u 握手两次，因此有：

∑v∈Vdegree(v)=∑v∈V∑u∈Vf(u,v)=∑e∈E2=2|E|

每一条边记录着两次握手，在计数时，也就等于 2.