异常值检测 —— MAD（median absolute deviation）

MAD 定义为，一元序列 Xi$X_i$ 同其中位数偏差的绝对值的中位数（deviation，偏差本身有正有负）；

MAD=median(|Xi−median(X)|)$$\text{MAD=median}\left(|X_i-\text{median(X)}|\right)$$

1. MAD 用于异常点的检测

假定数据服从正态分布，我们让异常点（outliers）落在两侧的 50% 的面积里，让正常值落在中间的 50% 的区域里：

P(|X−μ|≤MAD)=P(|X−μ|σ≤MADσ)=P(Z≤MADσ)=1/2$$P(|X-\mu |\le MAD)=P(\frac{|X-\mu |}{\sigma }\le \frac{MAD}{\sigma })=P(Z\le \frac{MAD}{\sigma })=1/2$$

其中 P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2$P(Z\le \frac{MAD}{\sigma })=\mathrm{\Phi }(\frac{MAD}{\sigma })-\mathrm{\Phi }(-\frac{MAD}{\sigma })=1/2$，又由 Φ(−a)=1−Φ(a)$\mathrm{\Phi }(-a)=1-\mathrm{\Phi }(a)$，可 Φ(MAD/σ)=3/4$\mathrm{\Phi }(MAD/\sigma )=3/4$ ⇒ MAD/σ=Φ−1(3/4)$MAD/\sigma ={\mathrm{\Phi }}^{-1}(3/4)$，查表可知，MAD/σ$MAD/\sigma$=0.6749。

from scipy.stats import norm

def mad_based_outlier(points, thresh=3.5):
    if type(points) is list:
        points = np.asarray(points)
    if len(points.shape) == 1:
        points = points[:, None]
    med = np.median(points, axis=0)
    abs_dev = np.absolute(points - med)
    med_abs_dev = np.median(abs_dev)

    mod_z_score = norm.ppf(0.75) * abs_dev / med_abs_dev
    return mod_z_score > thresh

2. MAD 与基于分位数方法的对比

MAD 的方法相对于分位数方法的一大优势即在于 MAD 方法对样本大小是不敏感也即是稳定的鲁棒的一种评价指标。

def percentile_based_outlier(data, threshold=95):
    diff = (100 - threshold) / 2.0
    minval, maxval = np.percentile(data, [diff, 100 - diff])
    return (data < minval) | (data > maxval)

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Pythonic way of detecting outliers in one dimensional observation data