Gauss error function

0. error function

erf(x)=1π−−√∫x−xe−t2dt$$\text{erf}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-x}^x{e}^{-t^2}dt$$

python 下的 math 标准库定义着 erf 的实现。

1. 从 error function 到标准正态分布 cdf 的实现

标准正态分布的累积分布函数无法用基本的解析形式表示，但却可通过的简单形式变换而计算得到：

Φ(x)=12+12erf(x/2–√)=12erfc(−x/2–√)$$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(x/\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(-x/\sqrt{2}\right)$$

2. python 实现

def phi(x, mu=0, sigma=1):
    return (1 + math.erf((x-mu) / math.sqrt(2) / math.sqrt(sigma)))/2