【证明】【一题多解】 —— 等比数列

0. 数学归纳法

(1+x)⋅(1−x)=(1+x)−(1+x)x=1+(x−x)−x2=1−x2$$\begin{array}{rl}(1+x)\cdot (1-x)& =(1+x)-(1+x)x\\ & =1+(x-x)-x^2\\ & =1-x^2\end{array}$$

(1+x+x2)⋅(1−x)=(1+x+x2)⋅1−(1+x+x2)⋅x=1+(x+x2)−(1+x)x−x3=1+(x+x2)−(x+x2)−x3=1−x3$$\begin{array}{rl}(1+x+x^2)\cdot (1-x)& =(1+x+x^2)\cdot 1-(1+x+x^2)\cdot x\\ & =1+(x+x^2)-(1+x)x-x^3\\ & =1+(x+x^2)-(x+x^2)-x^3\\ & =1-x^3\end{array}$$

(1+x+x2+⋯+xn)(1−x)=(1+x+x2+⋯+xn)−(1+x+x2+⋯+xn)x=1+(x+x2+⋯+xn)−(1+x+⋯+xn−1)x−xn+1=1−xn+1$$\begin{array}{rl}(1+x+x^2+\cdots +x^n)(1-x)& =(1+x+x^2+\cdots +x^n)-(1+x+x^2+\cdots +x^n)x\\ & =1+(x+x^2+\cdots +x^n)-(1+x+\cdots +x^{n-1})x-x^{n+1}\\ & =1-x^{n+1}\end{array}$$

两边同时除以 1−x$1-x$：

1+x+⋯+xn=1−xn+11−x$$1+x+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

1. 等比数列前 n 项和

根据上面的结论：1−xn$1-x^n$ 可以展开为 1−xn=(1+x+⋯+xn−1)(1−x)$1-x^n=(1+x+\cdots +x^{n-1})(1-x)$：

1−xn+1(1−x)(1+x+x2+⋯+xn)1+x+⋯+xn=1−xn+1=1−xn+1=1−xn+11−x$$\begin{array}{rl}1-x^{n+1}& =1-x^{n+1}\\ (1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^n)& =1-x^{n+1}\\ 1+x+\cdots +x^n& =\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\end{array}$$

当然这种证明有点画蛇添足，多此一举。