【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明

布尔不等式（Boole’s inequality）也叫（union bound），即并集的上界，描述的是至少一个事件发生的概率（P(⋃iAi)$\mathbb{P}\left(\bigcup _i{A}_i\right)$）不大于单独事件（事件之间未必独立）发生的概率之和（∑iP(Ai)$\sum _i\mathbb{P}(A_i)$）。

即：

P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)$$\mathbb{P}\left(\bigcup _i{A}_i\right)\le \sum _i\mathbb{P}(A_i)$$

展开即为：

P(A1⋃A2⋃⋯)≤P(A1)+P(A2)+⋯$$\mathbb{P}\left(A_1\bigcup A_2\bigcup \cdots \right)\le \mathbb{P}\left(A_1\right)+\mathbb{P}\left(A_2\right)+\cdots$$

1. 数学归纳法证明

• 当 n=1$n=1$ 时，显然 P(A1)≤P(A1)$\mathbb{P}(A_1)\le \mathbb{P}(A_1)$

• 对于 n$n$，如果有：P(⋃ni=1Ai)≤∑ni=1P(Ai)$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)$，则由 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$ 可知：

  P(⋃i=1n+1Ai)=P({⋃i=1nAi}⋃An+1)=P(⋃i=1nAi)+P(An+1)−P({⋃i=1nAi}⋂An+1)≤P(⋃i=1nAi)+P(An+1)$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{n+1}{A}_i\right)=\mathbb{P}\left(\left\{\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right\}\bigcup A_{n+1}\right)& =\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{n+1}\right)-\mathbb{P}\left(\left\{\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right\}\bigcap A_{n+1}\right)\\ & \le \mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+\mathbb{P}\left(A_{n+1}\right)\end{array}$$

2. 将事件转换为独立事件（不相交事件）

假设有A1,A2,A3$A_1,A_2,A_3$ 三个事件，则：

• 令 B1=A1,B2=A2−A1$B_1=A_1,B_2=A_2-A_1$，B1$B_1$ 与 B2$B_2$ 不相交
• 令 B2=A2−A1$B_2=A_2-A_1$ B3=A3−A2−A1$B_3=A_3-A_2-A_1$，B2$B_2$ 与 B3$B_3$ 不相交

令 Bi=Ai∖(⋃i−1k=1Ai)$B_i=A_i\mathrm{\setminus }\left(\bigcup _{k=1}^{i-1}{A}_i\right)$，则有 B1,B2,⋯,$B_1,B_2,\cdots ,$ 互不相交，且 A1∪A2∪⋯=B1∪B2∪⋯$A_1\cup A_2\cup \cdots =B_1\cup B_2\cup \cdots$，自然 Bi⊂Ai$B_i\subset A_i$ ==> P(Bi)≤P(Ai)$P(B_i)\le P(A_i)$：

P(A1∪A2∪⋯)=P(B1∪B2∪⋯)=P(B1)+P(B2)+⋯≤P(A1)+P(A2)+⋯$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(A_1\cup A_2\cup \cdots \right)& =\mathbb{P}\left(B_1\cup B_2\cup \cdots \right)=\mathbb{P}(B_1)+\mathbb{P}(B_2)+\cdots \\ & \le \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+\cdots \end{array}$$