【证明】—— 二叉树的相关证明

1. 数学归纳法

Proof that a binary tree with n leaves has a height of at least log n

• 高度为 n$n$ 的二叉树，叶子结点不多于 2n$2^n$。

  数学归纳法，证明三部曲：

  • n=0$n=0$，只有一个根节点，则叶子结点也为此根节点，为 1，不多于 20$2^0$

  • 令高度为 k$k$，叶子结点不多于 2k$2^k$，我们需证明：高度为 k+1$k+1$ 时，叶子结点不多于 2k+1$2^{k+1}$

    高度为 k+1$k+1$ 时，考虑其左右孩子，则其左右孩子（也即左右子树），高度不高于 k$k$，则左右孩子叶子节点数也均不高于 2k$2^k$，即左子树，树高不高于 k$k$，叶子结点数不高于 2k$2^k$，右子树，树高不高于 k$k$，叶子结点数不高于 2k$2^k$，则总的叶子节点数：≤2k+2k=2k=1$\le 2^k+2^k=2^{k=1}$