随笔分类 -  数学分析

常见反函数、反函数导数(微分)公式
摘要:0. 反函数基本认识互为反函数之反函数的相互性:g(x) 是 f(x) 的反函数,则 f(x) 也是 g(x) 的反函数; f(g(x))=x, g(f(x))=x1. 反函数导数公式MORE RULES FOR DERIVATIVES如果函数 g(x) 是 f(x)... 阅读全文
posted @ 2017-09-16 17:13 未雨愁眸 阅读(17396) 评论(0) 推荐(0) 编辑
样条函数(spline function)—— 分段多项式函数(piecewise polynomial function)
摘要:1. 分段多项式函数 样条函数是某种意义上的分段函数。Spline (mathematics) - Wikipedia最简单的样条函数是一种分段多项式函数(piecewise polynomial function),样条函数 S:[a,b]→R。S 是在定义域 [... 阅读全文
posted @ 2017-07-21 19:18 未雨愁眸 阅读(2680) 评论(0) 推荐(0) 编辑
二重积分的计算 —— 交换积分顺序(exchange the order of integration)
摘要:交换积分顺序的诀窍在数形结合;1. 几句顺口溜后积先定限,限内穿条线,先交下限写,后交上限见先积 x,画横线(平行于 x 轴),右减左; 先积 y,画竖线(平行于 y 轴),上减下;2. 简单举例Examples of changing the order of ... 阅读全文
posted @ 2017-07-20 15:50 未雨愁眸 阅读(18422) 评论(0) 推荐(0) 编辑
单位阶跃函数(Heaviside/unit step function)—— 化简分段函数
摘要:注意,单位阶跃函数一种不连续函数。1. 常见定义最经典的定义来自于 Ramp function(斜坡函数,max{x,0})的微分形式;H(x)=ddxmax{x,0}2. 化简分段函数如对于指数分布的概率密度函数:f(x;λ)={λe−λx0x≥0,x<0.⇒f(x... 阅读全文
posted @ 2017-05-13 17:20 未雨愁眸 阅读(3715) 评论(0) 推荐(0) 编辑
正割函数(sec)
摘要:1. 定义正割与余弦互为倒数,余割与正弦互为倒数。即:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪secθ=1cosθcscθ=1sinθ 也即在几何上,设 △ABC,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,正割函数:sec∠A=c/b(斜边/邻边)。2. 可视化(matlab)我们画出 se... 阅读全文
posted @ 2017-02-22 10:05 未雨愁眸 阅读(7671) 评论(0) 推荐(0) 编辑
数学辨异 —— 泰勒展开与等比数列求和
摘要:11−x1. 泰勒展开根据:(1+z)α=1+αz+α(α−1)2!z2+α(α−1)(α−2)3!z3+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+⋯,|z|<1所以有:11−x===(1+(−x))−11+x+(−1)(−2)2!(−x)2+(−1)(−2)(−3)... 阅读全文
posted @ 2017-01-18 13:17 未雨愁眸 阅读(637) 评论(0) 推荐(0) 编辑
原函数与反函数
摘要:1. 反函数存在定理严格单调函数(比如 cdf,累积分布函数)必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。2. 反函数性质函数 f(x) 与它的反函数 f−1(x) 图象关于直线 y=x 对称; 阅读全文
posted @ 2016-12-18 12:54 未雨愁眸 阅读(1597) 评论(0) 推荐(0) 编辑
不定积分
摘要:1. 定义∀x∈I(I 表区间),都有 F′(x)=f(x),则称 F(x) 是 f(x) 在 I 上的一个原函数;∫f(x)dx=F(x)+c从多个方面去理解同一个定义概念本身,才算得上真正的理解:若 ∃x0∈I,使得 F′(x0)≠f(x0),则 F(x) 就不是... 阅读全文
posted @ 2016-11-22 00:53 未雨愁眸 阅读(153) 评论(0) 推荐(0) 编辑
从傅里叶级数到傅里叶变换
摘要:1. 傅里叶级数傅里叶级数的关键词是正交,正交,正交; 第一式,第四式,第五式:积分函数都为偶函数,在对称区间上,为单侧区间的二倍,尽管如此,考虑三角函数的特殊性,就是在单侧区间,其值仍为 0。∫π−πcoskxcosnxdx=2∫π0cos((k−n)x)+cos... 阅读全文
posted @ 2016-11-14 00:43 未雨愁眸 阅读(417) 评论(0) 推荐(0) 编辑
求导的训练
摘要:1. 求导∂∑if(xi)∂xk=f′(xk) (微分的结果只有一项) ∂(f(a1)+f(a2))∂a2=0+f′(a2)∂(f(a1)+f(a2))∂f(a2)=0+1=1 阅读全文
posted @ 2016-11-13 12:48 未雨愁眸 阅读(155) 评论(0) 推荐(0) 编辑
中值定理
摘要:中值定理,⇒ 根据端点值推测区间内部函数的一些确定性事件;f(x) 在闭区间 [0,1] 上,f(0)=0,f(1)=π4,证明存在 ξ 使得 (1+ξ2)f′(ξ)=1令 F(x)=f(x)−arctanx,所以有 F(0)=F(1),所以存在一个 ξ,F′(ξ... 阅读全文
posted @ 2016-11-12 00:20 未雨愁眸 阅读(434) 评论(0) 推荐(0) 编辑
不可积分的函数、定积分可积不可积
摘要:1. 不可积分不可积分函数正态分布函数的密度函数是不可积的,虽然它的原函数(即不定积分)存在,但不能用初等函数表达出来。习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属... 阅读全文
posted @ 2016-11-10 21:04 未雨愁眸 阅读(5041) 评论(0) 推荐(0) 编辑
可积的判定(充分条件,必要条件)
摘要:可积的充要条件,定义:积分和能否无限接近某一常数;1. 必要条件若函数 f 在 [a, b] 上可积,则 f 在 [a, b] 上必有界; 反证法,逆否命题,无界 ⇒ 不可积;若 f 在 [a, b] 上无界,则对于 [a, b] 的任一分割 T,比存在属于 T 的某... 阅读全文
posted @ 2016-11-10 19:26 未雨愁眸 阅读(18916) 评论(0) 推荐(0) 编辑
多元函数(multivariate function)分析(方向导数和梯度)
摘要:二阶泰勒展开:f(x)=f(0)+f′Tx+12xTf′′x+o(⋅) 对等式右端求导,并置 0,得 x=f′′−1f′1. 方向导数与梯度设有单位向量 h=(h1,h2,⋯,hn)∈Rn(当然不要求 hi 之间必须相等),它表示 n 维空间中的一个方向(长度是单位 ... 阅读全文
posted @ 2016-11-10 12:37 未雨愁眸 阅读(965) 评论(0) 推荐(0) 编辑
函数的微分表
摘要:0. 导数与微分如果函数 f(x) 在变量 x 的两给定限之间连续,并在这两个限之间指定变量的一个值 x0,那么这个变量的一个无限小增量 Δx 将产生函数本身的一个无限小增量。Δx⇒ΔyΔyΔx=f(x+h)−f(x)h根据导数定义,我们可由此计算 f(x)=xm 的... 阅读全文
posted @ 2016-11-09 15:09 未雨愁眸 阅读(633) 评论(0) 推荐(0) 编辑
零点定理、介值定理
摘要:零点定理(zero point theorem) 介值定理(intermediate value theorem),也叫中间值定理。1. 介值定理的证明[a,b],f(a)=A,f(b)=B, (f(x) 在区间 [a,b] 上连续,η 介于 A,B 之间,证明至少存... 阅读全文
posted @ 2016-11-08 13:10 未雨愁眸 阅读(2533) 评论(0) 推荐(0) 编辑
数列收敛与数列极限
摘要:sequence,数列;series,级数(对数列求和)单调有界函数必收敛;单调增有上界,收敛;单调减有下界,收敛;1. 有趣的序列不单调但收敛;x0=1xi+1=cos(xi) 2. 数列极限limn→∞an=a,则有:limn→∞(1+ann)n=ea ... 阅读全文
posted @ 2016-11-07 23:59 未雨愁眸 阅读(1497) 评论(0) 推荐(0) 编辑
张量(tensor)的理解
摘要:1. 从标量到矢量:携带更丰富的信息 矢,是箭的意思,突出的特点是其指向性。袋子里有几个球? 3 个,magnitude(幅度,没有单位);从这到你家多远?3 km(denominate),3 称为 scalars,标量,或叫纯量;从这如何到达你的家里?步行 3km... 阅读全文
posted @ 2016-11-06 10:14 未雨愁眸 阅读(464) 评论(0) 推荐(0) 编辑
极限的求法
摘要:1. 00 洛必达limx→9x2−81x√−3: 洛必达,4x3/2=108因式分解,约分 阅读全文
posted @ 2016-10-28 15:24 未雨愁眸 阅读(223) 评论(0) 推荐(0) 编辑
斯托克斯定理(Stokes' theorem)
摘要:1. 几种形式∮∂SPdx+Qdy+Rdz=∬S∣∣∣∣∣∣cosα∂∂xPcosβ∂∂yQcosγ∂∂zR∣∣∣∣∣∣dS∮∂Ωw=∬Ωdw左边是内积;右边是外积;物理上的应用:∮∂SE⃗ ⋅dℓ⃗ =∬S(∇×E⃗ )⋅dA⃗ 场函数 E⃗ 沿边界曲线(Γ=∂S... 阅读全文
posted @ 2016-10-24 23:09 未雨愁眸 阅读(621) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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