Kruskal算法
一、 最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。 
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
二、克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
三、克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
四、克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
五、克鲁斯卡尔算法代码说明
有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 边的结构体 class EData { public: char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 public: EData(){} EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){} };
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
class MatrixUDG { #define MAX 100 #define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF) private: char mVexs[MAX]; // 顶点集合 int mVexNum; // 顶点数 int mEdgNum; // 边数 int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 public: // 创建图(自己输入数据) MatrixUDG(); // 创建图(用已提供的矩阵) //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen); MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]); ~MatrixUDG(); // 深度优先搜索遍历图 void DFS(); // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历） void BFS(); // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树) void prim(int start); // 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 void kruskal(); // 打印矩阵队列图 void print(); private: // 读取一个输入字符 char readChar(); // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置 int getPosition(char ch); // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 int firstVertex(int v); // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 int nextVertex(int v, int w); // 深度优先搜索遍历图的递归实现 void DFS(int i, int *visited); // 获取图中的边 EData* getEdges(); // 对边按照权值大小进行排序(由小到大) void sortEdges(EData* edges, int elen); // 获取i的终点 int getEnd(int vends[], int i); };
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。
mVexs用于保存顶点，mVexNum是顶点数，mEdgNum是边数；mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
2. 克鲁斯卡尔算法
/* * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 */ void MatrixUDG::kruskal() { int i,m,n,p1,p2; int length; int index = 0; // rets数组的索引 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边 EData *edges; // 图对应的所有边 // 获取"图中所有的边" edges = getEdges(); // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges, mEdgNum); for (i=0; i<mEdgNum; i++) { p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号 p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 if (m != n) { vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 } } delete[] edges; // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 length = 0; for (i = 0; i < index; i++) length += rets[i].weight; cout << "Kruskal=" << length << ": "; for (i = 0; i < index; i++) cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") "; cout << endl; }
完整代码：（邻接矩阵）
/** * C++: Kruskal算法生成最小生成树(邻接矩阵) * * @author skywang * @date 2014/04/24 */ #include <iomanip> #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 边的结构体 class EData { public: char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 public: EData(){} EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){} }; class MatrixUDG { #define MAX 100 #define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF) private: char mVexs[MAX]; // 顶点集合 int mVexNum; // 顶点数 int mEdgNum; // 边数 int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 public: // 创建图(自己输入数据) MatrixUDG(); // 创建图(用已提供的矩阵) //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen); MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]); ~MatrixUDG(); // 深度优先搜索遍历图 void DFS(); // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历） void BFS(); // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树) void prim(int start); // 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 void kruskal(); // 打印矩阵队列图 void print(); private: // 读取一个输入字符 char readChar(); // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置 int getPosition(char ch); // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 int firstVertex(int v); // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 int nextVertex(int v, int w); // 深度优先搜索遍历图的递归实现 void DFS(int i, int *visited); // 获取图中的边 EData* getEdges(); // 对边按照权值大小进行排序(由小到大) void sortEdges(EData* edges, int elen); // 获取i的终点 int getEnd(int vends[], int i); }; /* * 创建图(自己输入数据) */ MatrixUDG::MatrixUDG() { char c1, c2; int i, j, weight, p1, p2; // 输入"顶点数"和"边数" cout << "input vertex number: "; cin >> mVexNum; cout << "input edge number: "; cin >> mEdgNum; if ( mVexNum < 1 || mEdgNum < 1 || (mEdgNum > (mVexNum * (mVexNum-1)))) { cout << "input error: invalid parameters!" << endl; return ; } // 初始化"顶点" for (i = 0; i < mVexNum; i++) { cout << "vertex(" << i << "): "; mVexs[i] = readChar(); } // 1. 初始化"边"的权值 for (i = 0; i < mVexNum; i++) { for (j = 0; j < mVexNum; j++) { if (i==j) mMatrix[i][j] = 0; else mMatrix[i][j] = INF; } } // 2. 初始化"边"的权值: 根据用户的输入进行初始化 for (i = 0; i < mEdgNum; i++) { // 读取边的起始顶点，结束顶点，权值 cout << "edge(" << i << "): "; c1 = readChar(); c2 = readChar(); cin >> weight; p1 = getPosition(c1); p2 = getPosition(c2); if (p1==-1 || p2==-1) { cout << "input error: invalid edge!" << endl; return ; } mMatrix[p1][p2] = weight; mMatrix[p2][p1] = weight; } } /* * 创建图(用已提供的矩阵) * * 参数说明： * vexs -- 顶点数组 * vlen -- 顶点数组的长度 * matrix-- 矩阵(数据) */ MatrixUDG::MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]) { int i, j; // 初始化"顶点数"和"边数" mVexNum = vlen; // 初始化"顶点" for (i = 0; i < mVexNum; i++) mVexs[i] = vexs[i]; // 初始化"边" for (i = 0; i < mVexNum; i++) for (j = 0; j < mVexNum; j++) mMatrix[i][j] = matrix[i][j]; // 统计边的数目 for (i = 0; i < mVexNum; i++) for (j = 0; j < mVexNum; j++) if (i!=j && mMatrix[i][j]!=INF) mEdgNum++; mEdgNum /= 2; } /* * 析构函数 */ MatrixUDG::~MatrixUDG() { } /* * 返回ch在mMatrix矩阵中的位置 */ int MatrixUDG::getPosition(char ch) { int i; for(i=0; i<mVexNum; i++) if(mVexs[i]==ch) return i; return -1; } /* * 读取一个输入字符 */ char MatrixUDG::readChar() { char ch; do { cin >> ch; } while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z'))); return ch; } /* * 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 */ int MatrixUDG::firstVertex(int v) { int i; if (v<0 || v>(mVexNum-1)) return -1; for (i = 0; i < mVexNum; i++) if (mMatrix[v][i]!=0 && mMatrix[v][i]!=INF) return i; return -1; } /* * 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1 */ int MatrixUDG::nextVertex(int v, int w) { int i; if (v<0 || v>(mVexNum-1) || w<0 || w>(mVexNum-1)) return -1; for (i = w + 1; i < mVexNum; i++) if (mMatrix[v][i]!=0 && mMatrix[v][i]!=INF) return i; return -1; } /* * 深度优先搜索遍历图的递归实现 */ void MatrixUDG::DFS(int i, int *visited) { int w; visited[i] = 1; cout << mVexs[i] << " "; // 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走 for (w = firstVertex(i); w >= 0; w = nextVertex(i, w)) { if (!visited[w]) DFS(w, visited); } } /* * 深度优先搜索遍历图 */ void MatrixUDG::DFS() { int i; int visited[MAX]; // 顶点访问标记 // 初始化所有顶点都没有被访问 for (i = 0; i < mVexNum; i++) visited[i] = 0; cout << "DFS: "; for (i = 0; i < mVexNum; i++) { //printf("\n== LOOP(%d)\n", i); if (!visited[i]) DFS(i, visited); } cout << endl; } /* * 广度优先搜索（类似于树的层次遍历） */ void MatrixUDG::BFS() { int head = 0; int rear = 0; int queue[MAX]; // 辅组队列 int visited[MAX]; // 顶点访问标记 int i, j, k; for (i = 0; i < mVexNum; i++) visited[i] = 0; cout << "BFS: "; for (i = 0; i < mVexNum; i++) { if (!visited[i]) { visited[i] = 1; cout << mVexs[i] << " "; queue[rear++] = i; // 入队列 } while (head != rear) { j = queue[head++]; // 出队列 for (k = firstVertex(j); k >= 0; k = nextVertex(j, k)) //k是为访问的邻接顶点 { if (!visited[k]) { visited[k] = 1; cout << mVexs[k] << " "; queue[rear++] = k; } } } } cout << endl; } /* * 打印矩阵队列图 */ void MatrixUDG::print() { int i,j; cout << "Martix Graph:" << endl; for (i = 0; i < mVexNum; i++) { for (j = 0; j < mVexNum; j++) cout << setw(10) << mMatrix[i][j] << " "; cout << endl; } } /* * prim最小生成树 * * 参数说明： * start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树 */ void MatrixUDG::prim(int start) { int min,i,j,k,m,n,sum; int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引 char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组 int weights[MAX]; // 顶点间边的权值 // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。 prims[index++] = mVexs[start]; // 初始化"顶点的权值数组"， // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。 for (i = 0; i < mVexNum; i++ ) weights[i] = mMatrix[start][i]; // 将第start个顶点的权值初始化为0。 // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。 weights[start] = 0; for (i = 0; i < mVexNum; i++) { // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。 if(start == i) continue; j = 0; k = 0; min = INF; // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。 while (j < mVexNum) { // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。 if (weights[j] != 0 && weights[j] < min) { min = weights[j]; k = j; } j++; } // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。 // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中 prims[index++] = mVexs[k]; // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。 weights[k] = 0; // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。 for (j = 0 ; j < mVexNum; j++) { // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。 if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j]) weights[j] = mMatrix[k][j]; } } // 计算最小生成树的权值 sum = 0; for (i = 1; i < index; i++) { min = INF; // 获取prims[i]在mMatrix中的位置 n = getPosition(prims[i]); // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。 for (j = 0; j < i; j++) { m = getPosition(prims[j]); if (mMatrix[m][n]<min) min = mMatrix[m][n]; } sum += min; } // 打印最小生成树 cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": "; for (i = 0; i < index; i++) cout << prims[i] << " "; cout << endl; } /* * 获取图中的边 */ EData* MatrixUDG::getEdges() { int i,j; int index=0; EData *edges; edges = new EData[mEdgNum]; for (i=0; i < mVexNum; i++) { for (j=i+1; j < mVexNum; j++) { if (mMatrix[i][j]!=INF) { edges[index].start = mVexs[i]; edges[index].end = mVexs[j]; edges[index].weight = mMatrix[i][j]; index++; } } } return edges; } /* * 对边按照权值大小进行排序(由小到大) */ void MatrixUDG::sortEdges(EData* edges, int elen) { int i,j; for (i=0; i<elen; i++) { for (j=i+1; j<elen; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { // 交换"边i"和"边j" swap(edges[i], edges[j]); } } } } /* * 获取i的终点 */ int MatrixUDG::getEnd(int vends[], int i) { while (vends[i] != 0) i = vends[i]; return i; } /* * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树 */ void MatrixUDG::kruskal() { int i,m,n,p1,p2; int length; int index = 0; // rets数组的索引 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边 EData *edges; // 图对应的所有边 // 获取"图中所有的边" edges = getEdges(); // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges, mEdgNum); for (i=0; i<mEdgNum; i++) { p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号 p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 if (m != n) { vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 } } delete[] edges; // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 length = 0; for (i = 0; i < index; i++) length += rets[i].weight; cout << "Kruskal=" << length << ": "; for (i = 0; i < index; i++) cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") "; cout << endl; } int main() { char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; int matrix[][9] = { /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/ /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF}, /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF}, /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8}, /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}}; int vlen = sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]); MatrixUDG* pG; // 自定义"图"(输入矩阵队列) //pG = new MatrixUDG(); // 采用已有的"图" pG = new MatrixUDG(vexs, vlen, matrix); //pG->print(); // 打印图 //pG->DFS(); // 深度优先遍历 //pG->BFS(); // 广度优先遍历 //pG->prim(0); // prim算法生成最小生成树 pG->kruskal(); // Kruskal算法生成最小生成树 return 0; }
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