斐波那契堆
一、介绍
斐波那契堆(Fibonacci heap)是一种可合并堆，可用于实现合并优先队列。它比二项堆具有更好的平摊分析性能，它的合并操作的时间复杂度是O(1)。
与二项堆一样，它也是由一组堆最小有序树组成，并且是一种可合并堆。
与二项堆不同的是，斐波那契堆中的树不一定是二项树；而且二项堆中的树是有序排列的，但是斐波那契堆中的树都是有根而无序的。
二、斐波那契堆的基本操作
1. 基本定义
template <class T> class FibNode { public: T key; // 关键字(键值) int degree; // 度数 FibNode<T> *left; // 左兄弟 FibNode<T> *right; // 右兄弟 FibNode<T> *child; // 第一个孩子节点 FibNode<T> *parent; // 父节点 bool marked; // 是否被删除第一个孩子 FibNode(T value):key(value), degree(0), marked(false), left(NULL),right(NULL),child(NULL),parent(NULL) { key = value; degree = 0; marked = false; left = this; right = this; parent = NULL; child = NULL; } };
FibNode是斐波那契堆的节点类，它包含的信息较多。key是用于比较节点大小的，degree是记录节点的度，left和right分别是指向节点的左右兄弟，child是节点的第一个孩子，parent是节点的父节点，marked是记录该节点是否被删除第1个孩子(marked在删除节点时有用)。
template <class T> class FibHeap { private: int keyNum; // 堆中节点的总数 int maxDegree; // 最大度 FibNode<T> *min; // 最小节点(某个最小堆的根节点) FibNode<T> **cons; // 最大度的内存区域 public: FibHeap(); ~FibHeap(); // 新建key对应的节点，并将其插入到斐波那契堆中 void insert(T key); // 移除斐波那契堆中的最小节点 void removeMin(); // 将other合并到当前堆中 void combine(FibHeap<T> *other); // 获取斐波那契堆中最小键值，并保存到pkey中；成功返回true，否则返回false。 bool minimum(T *pkey); // 将斐波那契堆中键值oldkey更新为newkey void update(T oldkey, T newkey); // 删除键值为key的节点 void remove(T key); // 斐波那契堆中是否包含键值key bool contains(T key); // 打印斐波那契堆 void print(); // 销毁 void destroy(); private: // 将node从双链表移除 void removeNode(FibNode<T> *node); // 将node堆结点加入root结点之前(循环链表中) void addNode(FibNode<T> *node, FibNode<T> *root); // 将双向链表b链接到双向链表a的后面 void catList(FibNode<T> *a, FibNode<T> *b); // 将节点node插入到斐波那契堆中 void insert(FibNode<T> *node); // 将"堆的最小结点"从根链表中移除， FibNode<T>* extractMin(); // 将node链接到root根结点 void link(FibNode<T>* node, FibNode<T>* root); // 创建consolidate所需空间 void makeCons(); // 合并斐波那契堆的根链表中左右相同度数的树 void consolidate(); // 修改度数 void renewDegree(FibNode<T> *parent, int degree); // 将node从父节点parent的子链接中剥离出来，并使node成为"堆的根链表"中的一员。 void cut(FibNode<T> *node, FibNode<T> *parent); // 对节点node进行"级联剪切" void cascadingCut(FibNode<T> *node) ; // 将斐波那契堆中节点node的值减少为key void decrease(FibNode<T> *node, T key); // 将斐波那契堆中节点node的值增加为key void increase(FibNode<T> *node, T key); // 更新斐波那契堆的节点node的键值为key void update(FibNode<T> *node, T key); // 在最小堆root中查找键值为key的节点 FibNode<T>* search(FibNode<T> *root, T key); // 在斐波那契堆中查找键值为key的节点 FibNode<T>* search(T key); // 删除结点node void remove(FibNode<T> *node); // 销毁斐波那契堆 void destroyNode(FibNode<T> *node); // 打印"斐波那契堆" void print(FibNode<T> *node, FibNode<T> *prev, int direction); };
FibHeap是斐波那契堆对应的类。min是保存当前堆的最小节点，keyNum用于记录堆中节点的总数，maxDegree用于记录堆中最大度，而cons在删除节点时来暂时保存堆数据的临时空间。下面是斐波那契堆的属性结构图和内存结构图的对比示例。
从中可以看出，斐波那契堆是由一组最小堆组成，这些最小堆的根节点组成了双向链表(后文称为"根链表")；斐波那契堆中的最小节点就是"根链表中的最小节点"！
2. 插入操作
插入操作非常简单：插入一个节点到堆中，直接将该节点插入到"根链表的min节点"之前即可；若被插入节点比"min节点"小，则更新"min节点"为被插入节点。
上面是插入操作的示意图。
斐波那契堆的根链表是"双向链表"，这里将min节点看作双向联表的表头(后文也是如此)。在插入节点时，每次都是"将节点插入到min节点之前(即插入到双链表末尾)"。此外，对于根链表中最小堆都只有一个节点的情况，插入操作就很演化成双向链表的插入操作。
/* * 将node堆结点加入root结点之前(循环链表中) * a …… root * a …… node …… root */ template <class T> void FibHeap<T>::addNode(FibNode<T> *node, FibNode<T> *root) { node->left = root->left; root->left->right = node; node->right = root; root->left = node; } /* * 将节点node插入到斐波那契堆中 */ template <class T> void FibHeap<T>::insert(FibNode<T> *node) { if (keyNum == 0) min = node; else { addNode(node, min); if (node->key < min->key) min = node; } keyNum++; }
3. 合并
合并操作和插入操作的原理非常类似：将一个堆的根链表插入到另一个堆的根链表上即可。简单来说，就是将两个双链表拼接成一个双向链表。
上面是合并操作的示意图。该操作示意图与测试程序中的"合并操作"相对应！
/* * 将双向链表b链接到双向链表a的后面 * * 注意： 此处a和b都是双向链表 */ template <class T> void FibHeap<T>::catList(FibNode<T> *a, FibNode<T> *b) { FibNode<T> *tmp; tmp = a->right; a->right = b->right; b->right->left = a; b->right = tmp; tmp->left = b; } /* * 将other合并到当前堆中 */ template <class T> void FibHeap<T>::combine(FibHeap<T> *other) { if (other==NULL) return ; if(other->maxDegree > this->maxDegree) swap(*this, *other); if((this->min) == NULL) // this无"最小节点" { this->min = other->min; this->keyNum = other->keyNum; free(other->cons); delete other; } else if((other->min) == NULL) // this有"最小节点" && other无"最小节点" { free(other->cons); delete other; } // this有"最小节点" && other有"最小节点" else { // 将"other中根链表"添加到"this"中 catList(this->min, other->min); if (this->min->key > other->min->key) this->min = other->min; this->keyNum += other->keyNum; free(other->cons); delete other; } }
4. 取出最小节点
抽取最小结点的操作是斐波那契堆中较复杂的操作。
(1）将要抽取最小结点的子树都直接串联在根表中；
(2）合并所有degree相等的树，直到没有相等的degree的树。
上面是取出最小节点的示意图。图中应该写的非常明白了，若有疑问，看代码。
/* * 将"堆的最小结点"从根链表中移除， * 这意味着"将最小节点所属的树"从堆中移除! */ template <class T> FibNode<T>* FibHeap<T>::extractMin() { FibNode<T> *p = min; if (p == p->right) min = NULL; else { removeNode(p); min = p->right; } p->left = p->right = p; return p; } /* * 将node链接到root根结点 */ template <class T> void FibHeap<T>::link(FibNode<T>* node, FibNode<T>* root) { // 将node从双链表中移除 removeNode(node); // 将node设为root的孩子 if (root->child == NULL) root->child = node; else addNode(node, root->child); node->parent = root; root->degree++; node->marked = false; } /* * 创建consolidate所需空间 */ template <class T> void FibHeap<T>::makeCons() { int old = maxDegree; // 计算log2(keyNum)，"+1"意味着向上取整！ // ex. log2(13) = 3，向上取整为3+1=4。 maxDegree = (log(keyNum)/log(2.0)) + 1; if (old >= maxDegree) return ; // 因为度为maxDegree可能被合并，所以要maxDegree+1 cons = (FibNode<T> **)realloc(cons, sizeof(FibHeap<T> *) * (maxDegree + 1)); } /* * 合并斐波那契堆的根链表中左右相同度数的树 */ template <class T> void FibHeap<T>::consolidate() { int i, d, D; FibNode<T> *x, *y, *tmp; makeCons();//开辟哈希所用空间 D = maxDegree + 1; for (i = 0; i < D; i++) cons[i] = NULL; // 合并相同度的根节点，使每个度数的树唯一 while (min != NULL) { x = extractMin(); // 取出堆中的最小树(最小节点所在的树) d = x->degree; // 获取最小树的度数 // cons[d] != NULL，意味着有两棵树(x和y)的"度数"相同。 while (cons[d] != NULL) { y = cons[d]; // y是"与x的度数相同的树" if (x->key > y->key) // 保证x的键值比y小 swap(x, y); link(y, x); // 将y链接到x中 cons[d] = NULL; d++; } cons[d] = x; } min = NULL; // 将cons中的结点重新加到根表中 for (i=0; i<D; i++) { if (cons[i] != NULL) { if (min == NULL) min = cons[i]; else { addNode(cons[i], min); if ((cons[i])->key < min->key) min = cons[i]; } } } } /* * 移除最小节点 */ template <class T> void FibHeap<T>::removeMin() { if (min==NULL) return ; FibNode<T> *child = NULL; FibNode<T> *m = min; // 将min每一个儿子(儿子和儿子的兄弟)都添加到"斐波那契堆的根链表"中 while (m->child != NULL) { child = m->child; removeNode(child); if (child->right == child) m->child = NULL; else m->child = child->right; addNode(child, min); child->parent = NULL; } // 将m从根链表中移除 removeNode(m); // 若m是堆中唯一节点，则设置堆的最小节点为NULL； // 否则，设置堆的最小节点为一个非空节点(m->right)，然后再进行调节。 if (m->right == m) min = NULL; else { min = m->right; consolidate(); } keyNum--; delete m; }
5. 减小节点值
减少斐波那契堆中的节点的键值，这个操作的难点是：如果减少节点后破坏了"最小堆"性质，如何去维护呢？下面对一般性情况进行分析。
(1) 首先，将"被减小节点"从"它所在的最小堆"剥离出来；然后将"该节点"关联到"根链表"中。 倘若被减小的节点不是单独一个节点，而是包含子树的树根。则是将以"被减小节点"为根的子树从"最小堆"中剥离出来，然后将该树关联到根链表中。
(2) 接着，对"被减少节点"的原父节点进行"级联剪切"。所谓"级联剪切"，就是在被减小节点破坏了最小堆性质，并被切下来之后；再从"它的父节点"进行递归级联剪切操作。
而级联操作的具体动作则是：若父节点(被减小节点的父节点)的marked标记为false，则将其设为true，然后退出。
否则，将父节点从最小堆中切下来(方式和"切被减小节点的方式"一样)；然后递归对祖父节点进行"级联剪切"。
marked标记的作用就是用来标记"该节点的子节点是否有被删除过"，它的作用是来实现级联剪切。而级联剪切的真正目的是为了防止"最小堆"由二叉树演化成链表。
(3) 最后，别忘了对根链表的最小节点进行更新。
/* * 修改度数 */ template <class T> void FibHeap<T>::renewDegree(FibNode<T> *parent, int degree) { parent->degree -= degree; if (parent-> parent != NULL) renewDegree(parent->parent, degree); } /* * 将node从父节点parent的子链接中剥离出来， * 并使node成为"堆的根链表"中的一员。 */ template <class T> void FibHeap<T>::cut(FibNode<T> *node, FibNode<T> *parent) { removeNode(node); renewDegree(parent, node->degree); // node没有兄弟 if (node == node->right) parent->child = NULL; else parent->child = node->right; node->parent = NULL; node->left = node->right = node; node->marked = false; // 将"node所在树"添加到"根链表"中 addNode(node, min); } /* * 对节点node进行"级联剪切" * * 级联剪切：如果减小后的结点破坏了最小堆性质， * 则把它切下来(即从所在双向链表中删除，并将 * 其插入到由最小树根节点形成的双向链表中)， * 然后再从"被切节点的父节点"到所在树根节点递归执行级联剪枝 */ template <class T> void FibHeap<T>::cascadingCut(FibNode<T> *node) { FibNode<T> *parent = node->parent; if (parent != NULL) { if (node->marked == false) node->marked = true; else { cut(node, parent); cascadingCut(parent); } } } /* * 将斐波那契堆中节点node的值减少为key */ template <class T> void FibHeap<T>::decrease(FibNode<T> *node, T key) { FibNode<T> *parent; if (min==NULL ||node==NULL) return ; if ( key>=node->key) { cout << "decrease failed: the new key(" << key <<") " << "is no smaller than current key(" << node->key <<")" << endl; return ; } node->key = key; parent = node->parent; if (parent!=NULL && node->key < parent->key) { // 将node从父节点parent中剥离出来，并将node添加到根链表中 cut(node, parent); cascadingCut(parent); } // 更新最小节点 if (node->key < min->key) min = node; }
6. 增加节点值
增加节点值和减少节点值类似，这个操作的难点也是如何维护"最小堆"性质。思路如下：
(1) 将"被增加节点"的"左孩子和左孩子的所有兄弟"都链接到根链表中。
(2) 接下来，把"被增加节点"添加到根链表；但是别忘了对其进行级联剪切。
上面是增加节点值的示意图。该操作示意图与测试程序中的"增大节点"相对应！
/* * 将斐波那契堆中节点node的值增加为key */ template <class T> void FibHeap<T>::increase(FibNode<T> *node, T key) { FibNode<T> *child, *parent, *right; if (min==NULL ||node==NULL) return ; if (key <= node->key) { cout << "increase failed: the new key(" << key <<") " << "is no greater than current key(" << node->key <<")" << endl; return ; } // 将node每一个儿子(不包括孙子,重孙,...)都添加到"斐波那契堆的根链表"中 while (node->child != NULL) { child = node->child; removeNode(child); // 将child从node的子链表中删除 if (child->right == child) node->child = NULL; else node->child = child->right; addNode(child, min); // 将child添加到根链表中 child->parent = NULL; } node->degree = 0; node->key = key; // 如果node不在根链表中， // 则将node从父节点parent的子链接中剥离出来， // 并使node成为"堆的根链表"中的一员， // 然后进行"级联剪切" // 否则，则判断是否需要更新堆的最小节点 parent = node->parent; if(parent != NULL) { cut(node, parent); cascadingCut(parent); } else if(min == node) { right = node->right; while(right != node) { if(node->key > right->key) min = right; right = right->right; } } }
7. 删除节点
删除节点，本文采用了操作是："取出最小节点"和"减小节点值"的组合。
(1) 先将被删除节点的键值减少。减少后的值要比"原最小节点的值"即可。
(2) 接着，取出最小节点即可。
/* * 删除结点node */ template <class T> void FibHeap<T>::remove(FibNode<T> *node) { T m = min->key-1; decrease(node, m-1); removeMin(); }
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