Backpropagation

一般都是用链式法则解释
比如如下的神经网络

前向传播

对于节点 $h_1$ 来说， $h_1$ 的净输入 $net_{h_1}$ 如下：
$net_{h_1}=w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1$
接着对 $net_{h_1}$ 做一个sigmoid函数得到节点 $h_1$ 的输出：
$out_{h_1}=\frac{1}{1+e^{-net_{h_1}}}$
类似的，我们能得到节点 $h_2$ 、 $o_1$ 、 $o_2$ 的输出 $out_{h_2}$ 、 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ 。

误差

得到结果后，整个神经网络的输出误差可以表示为：
$E_{total}=\sum\frac{1}{2}(target-output)^2$
其中 $output$ 就是刚刚通过前向传播算出来的 $out_{o_1}$ 、 $out_{o_2}$ ； $target$ 是节点 $o_1$ 、 $o_2$ 的目标值。 $E_{total}$ 用来衡量二者的误差。
这个 $E_{total}$ 也可以认为是cost function，不过这里省略了防止overfit的regularization term（ $\sum{w_i^2}$ ）
展开得到
$E_{total}=E{o_1}+E{o_2}=\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2$

后向传播

对输出层的 $w_5$

通过梯度下降调整 $w_5$ ，需要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}$ ，
如下图所示：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}=\frac{\partial}{\partial {out_{o_1}}}(\frac{1}{2}(target_{o_1}-out_{o_1})^2+\frac{1}{2}(target_{o_2}-out_{o_2})^2)=-(target_{o_1}-out_{o_1})$
$\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial }{\partial {net_{o_1}}}\frac{1}{1+e^{-net_{o_1}}}=out_{o_1}(1-out_{o_1})$
$\frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {w_5}}=\frac{\partial}{\partial {w_5}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=out_{h_1}$
以上3个相乘得到梯度 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$ ，之后就可以用这个梯度训练了：
$w_5^+=w_5-\eta \frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}$
很多教材比如Stanford的课程，会把中间结果 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {net_{o_1}}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{o_1}}}\frac{\partial {out_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}$ 记做 $\delta_{o_1}$ ，表示这个节点对最终的误差需要负多少责任。。所以有 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_5}}=\delta_{o_1}out_{h_1}$ 。

对隐藏层的 $w_1$

通过梯度下降调整 $w_1$ ，需要求 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ ，由链式法则：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}$ ，
如下图所示：
参数 $w_1$ 影响了 $net_{h_1}$ ，进而影响了 $out_{h_1}$ ，之后又影响到 $E_{o_1}$ 、 $E_{o_2}$ 。
求解每个部分：
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}+\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ ，
其中 $\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\frac{\partial {E_{o_1}}}{\partial {net_{o_1}}}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial {net_{o_1}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}\times \frac{\partial}{\partial {out_{h_1}}}(w_5\times out_{h_1}+w_6\times out_{h_2}+b_2\times 1)=\delta_{o_1}w_5$ ，这里 $\delta_{o_1}$ 之前计算过。
$\frac{\partial {E_{o_2}}}{\partial {out_{h_1}}}$ 的计算也类似，所以得到
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}=\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7$ 。
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}$ 的链式中其他两项如下：
$\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=out_{h_1}(1-out_{h_1})$ ，
$\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial }{\partial {w_1}}(w_1\times i_1+w_2\times i_2+b_1\times 1)=i_1$
相乘得到
$\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}\frac{\partial {net_{h_1}}}{\partial {w_1}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) \times i_1$
得到梯度后，就可以对 $w_1$ 迭代了：
$w_1^+=w_1-\eta \frac{\partial{E_{total}}}{\partial{w_1}}$ 。
在前一个式子里同样可以对 $\delta_{h_1}$ 进行定义， $\delta_{h_1}=\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {out_{h_1}}}\frac{\partial {out_{h_1}}}{\partial {net_{h_1}}}=(\delta_{o_1}w_5+\delta_{o_2}w_7)\times out_{h_1}(1-out_{h_1}) =(\sum_o \delta_ow_{ho})\times out_{h_1}(1-out_{h_1})$ ，所以整个梯度可以写成 $\frac{\partial {E_{total}}}{\partial {w_1}}=\delta_{h_1}\times i_1$