背包问题解析（三）-动态规划算法

一、题目:

        有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

下面讲述的例子均先用具体的数字代入，即：eg：number＝3，capacity＝8

 

 

二、背包问题的解决过程

        在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。

1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；

3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。

其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)

j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝

 

 

三、填表处理：

首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值

v(0,j)表示当前容量为j，前0个物品最佳组合对应价值，显然应为0

v(j,0)表示当前容量为0，前j个物品最佳组合对应价值，显然亦应为0；

然后一行一行的填表：

如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；

又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；

如此下去，填到最后一个

 

四、python代码实现：

num=int(input("请输入可放的商品个数:"))
bag=int(input("请输入背包容量:"))
w=[]#容量表
v=[]#价值表
for i in range(num):
    str1=input("请分别输入每个商品的容量,与价值,以空格隔开:")
    w.append(int(str1.split(" ")[0]))
    v.append(int(str1.split(" ")[1]))
print("容量为",w)
print("体积为",v)
# 动态规划
#动态构建v模型(mum+1)*(bag+1),初始化全0
module=[[0 for i in range(bag+1)] for i in range(num+1)]
print("初始化:",module)
for i in range(1,num+1):
    for j in range(1,bag+1):
        if w[i-1]>j:#当第i次的物品容量小于背包容量,不拿,最大容量与上一次的相等
            module[i][j]=module[i-1][j]
        else:#否则,物品容量小于等于当年背包容量,可以选择放或不放,不放即上一次的背包
            module[i][j]=max(module[i-1][j],module[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
for i in range(len(module)):
    print(module[i])
print("最大价值为:",module[num][bag])

结果展示：

 

五、算法分析：

    动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

    最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。