POJ 2891 Strange Way to Express Integers | exGcd解同余方程组

题面就是让你解同余方程组(模数不互质)

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 题解:

先考虑一下两个方程

x=r1 mod(m1)

x=r2 mod (m2)

去掉mod

x=r1+m1y1   ......1

x=r2+m2y2   ......2

1-2可以得到

m1y1-m2y2=r1-r2

形同ax+by=c形式,可以判无解或者解出一个y1的值

带回1式可得到一个x的解x0=r1-y1a1

通解为x=x0+k*lcm(m1,m2)

即x=x0 mod(lcm(m1,m2))

令M=lcm(m1,m2) R=x0

所以x满足x=R mod(M)

就变成了一个新的式子

可以合并到最后啦

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 100010
typedef long long ll;
using namespace std;
ll n,m[N],r[N];
ll exGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0) return x=1,y=0,a;
    ll r=exGcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}
ll solve()
{
    ll M=m[1],R=r[1],x,y,d;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
    d=exGcd(M,m[i],x,y);
    if ((R-r[i])%d!=0) return -1;
    x=(R-r[i])/d*x%m[i];
    R-=x*M;
    M=M/d*m[i];
    R%=M;
    }
    return (R%M+M)%M;
}
int main()
{
    while (scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&m[i],&r[i]);
    printf("%lld\n",solve());
    }
    return 0;
}