[bzoj] 1597 土地购买 || 斜率优化dp

原题

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N块长方形的土地. 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

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首先，我们发现有一些矩形是没有用的！（假如他的x和y都比另一个矩形小）然后我们把它删掉！
我们就得到了x升序，y降序的矩阵序列

显然是dp
n^2的dp：
dp[i]表示买完前i块土地的最小花费

//按x坐标sort
for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<i;j++)
        dp[i]=min(dp[i],dp[j]+x[i]*y[j+1]);

怎么优化呢？
假如i可以由j和k转移过来，而j状态比k状态优，那么
\(dp[j]+x[i]*y[j+1]<dp[k]+x[i]*y[k+1]\)
移项为\(dp[j]-dp[k]<x[i]*(y[k+1]-y[j+1])\)
再除过去得到\((dp[j]-dp[k])/(y[k+1]-y[j+1])<x[i]\)
然后维护单调队列即可！（如果j比k优，那么k能更新的j都能更新）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 50010
typedef long long ll;
using namespace std;
struct hhh
{
	ll x,y;
	bool operator < (const hhh &b) const
	{
		if (x==b.x) return y<b.y;
		return x<b.x;
	}
}a[N];
ll n,tot,x[N],y[N],q[N],f[N],l,r;

ll read()
{
	ll ans=0,fu=1;
	char j=getchar();
	for (;j<'0' || j>'9';j=getchar()) if (j=='-') fu=-1;
	for (;j>='0' && j<='9';j=getchar()) ans*=10,ans+=j-'0';
	return ans*fu;
}	

double check(ll i,ll j)
{
	return 1.0*(f[j]-f[i])/(y[i+1]-y[j+1]);
}

int main()
{
	freopen("buy.in","r",stdin);
	freopen("buy.out","w",stdout);
	n=read();
	for (ll i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read();
	sort(a+1,a+n+1);
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	{
		while (tot && a[i].y>=y[tot]) tot--;
		x[++tot]=a[i].x;
		y[tot]=a[i].y;
	}
	for (ll i=1;i<=tot;i++)
	{
		while (l<r && check(q[l],q[l+1])<x[i]) l++;
		f[i]=f[q[l]]+y[q[l]+1]*x[i];
		while (r>l && check(q[r],i)<check(q[r-1],q[r])) r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[tot]);
	return 0;
}