矩阵变换

1.矩阵在3d空间中的作用

（1）长方体A想绕（10，3，4）旋转50°且沿着x方向放大2倍且向（9，-1，8）方向平移2个单位，那么经过上面的变换后，新的长方体各个点的坐标是多少呢？应用矩阵可以很轻松的算出答案。

（2）知道子坐标系在父坐标系中的位置，可以求出子坐标系中的店在父坐标系中的位置。

2.矩阵的基础知识

矩阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。简单的说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

（1）平移

以下矩阵能把一点向t矢量方向平移：

（2）旋转

正方向为从旋转轴正向看过去的逆时针方向，比如绕z轴[0,0,1]旋转，正方向为x至y轴方向

知道了绕着三轴后的旋转矩阵，那么下面就是绕任意向量所得的矩阵了。设M为单位矩阵经向量a旋转后的矩阵，且a = (x_a, y_a, z_a)，旋转角度为α，则

M=

不要问为什么，记住即可。

（3）缩放

缩放点为r，X轴缩放sx，y轴缩放sy，z轴缩放sz，则新坐标为：

 

（4）综合

比如要把坐标系中的所有点平移[2,3,4](X轴平移2，y轴平移3，z轴平移4)，

绕z轴旋转90°,

x,y,z轴都放大2倍，

则得到的变换矩阵为

注意：缩放不是只把sx，sy，sz位置相乘，而是那一轴的模为缩放值

最后所得的变换矩阵不等于相乘

3.子空间向父空间的变换

把点或方向从任何子坐标系C变换至父坐标系P的矩阵，可写作Mc-p。此矩阵表示把点或方向从子空间变换至父空间。以下等式把任何子空间位置矢量Pc变换至父空间位置矢量Pp，P_p = P_cM_c-p    

M_{c-p  =} 

• ic为子空间x轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示

• jc为子空间y轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示

• kc为子空间z轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示

• tc为子坐标系相对于父坐标系的平移

4.坐标系中点的RST(旋转平移缩放)

OpenGl超级宝典第四版P₁₀₁页说：如果一个4×4矩阵包含了一个不同的坐标系统的位置和方向（可以看成上面的M_c-p），那么，把一个顶点P_p与这个矩阵相乘，其结果就是一个变换到该坐标系统的新顶点P_c（坐标还是相对于原坐标系）。这看起来像公式P_c =P_p M_{c-p ，}错错错！这用P_p完全是个误导，把Pp改名字叫A，坐标V，由于是线性变换，所以在新坐标系统中A的坐标还是V，所以这就与P_p = P_cM_c-p  一致了，P_p为A在新坐标系统中V在原坐标系中的坐标。

5.OpenGl中的矩阵变换

OpenGl中矩阵的变换是叠加的，每做一次矩阵变换，就把零点移到新的坐标系中。下次变换只影响当前坐标系及其子坐标系，不会影响其父坐标系。载入单位矩阵是将零点重新置为最初的零点。

单纯的矩阵运算不会移动零点位置，所以与单位矩阵相乘没有任何效果。

通过矩阵可以达到将点或者图形进行转换，针对不同坐标轴可以选择不同矩阵的数值。

参考：

游戏开发中的矩阵初探