[HAOI2008]下落的圆盘

嘟嘟嘟


一开始就觉得这道题很恶心，但还是硬这头皮做了。
因为\(n \leqslant 1000\)，所以可以有\(O(n ^ 2)\)的做法。刚开始我想统计每一个圆盘能覆盖其他圆盘的长度，最后减去。但是这样会有重复统计。后来反过来想，每一个圆盘被覆盖的面积是多少。虽然一个个算也会重复统计，但是如果把每一次覆盖的角度算出来，然后转换成极坐标，不就变成线段覆盖了吗！
这样的话整个算法基本就出来了，复杂度\(O(n ^ 2logn)\)。
不过这要具备一定的计算几何知识。也就是怎么把两圆相交的部分转换成极坐标的区间。

对于这张图，假设已经判断完两圆相交。
首先求出\(AB, AC, BC\)，这样利用余弦定理就能求出\(\angle \alpha\)。然后因为\(\overrightarrow{AB}\)的极坐标已知，就能通过\(+ \alpha\)和\(- \alpha\)求出\(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\)的极坐标。
代码到不长，坑点就是\(\pi\)的精度得高一点……别像我刚开始只弄\(8\)位……

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const db PI = 3.1415926535897932;
const db PI2 = PI * 2;
const int maxn = 1e3 + 5;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n;
struct Cir
{
  db r, x, y;
  friend inline db dis(const Cir& A, const Cir& B)
  {
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
  }
}c[maxn];

struct Seg
{
  db L, R;
  bool operator < (const Seg& oth)const
  {
    return L < oth.L - eps || (fabs(L - oth.L) < eps && R < oth.R - eps);
  }
}a[maxn];
int cnt = 0;
bool flg = 1;

void add(db l, db r) {a[++cnt] = (Seg){l, r};}
void solve(Cir A, Cir B)
{
  db d = dis(A, B);
  if(B.r + d < A.r - eps || A.r + B.r < d - eps) return;
  if(A.r + d < B.r - eps) {flg = 0; return;}
  db alp = acos((A.r * A.r + d * d - B.r * B.r) / (2 * A.r * d));
  db bet = atan2(B.y - A.y, B.x - A.x);
  db l = bet - alp, r = bet + alp;
  if(l < 0 && r < 0) l += PI2, r += PI2;
  if(l > -eps && r < PI2 - eps) add(l, r);
  else
    {
      if(l < -eps) add(l + PI2, PI2), add(0, r);
      else add(l, PI2), add(0, r - PI2);
    }
}

db calc()
{
  sort(a + 1, a + cnt + 1);
  db ret = 0, l = 0, r = 0;
  for(int i = 1; i <= cnt; ++i)
    {
      if(a[i].L > r + eps) ret += r - l, l = a[i].L, r = a[i].R;
      else if(a[i].R > r) r = a[i].R;
    }
  return ret + r - l;
}

int main()
{
  n = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf%lf%lf", &c[i].r, &c[i].x, &c[i].y);
  db ans = 0;
  for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
      cnt = 0; flg = 1;
      for(int j = i + 1; j <= n && flg; ++j) solve(c[i], c[j]);
      if(!flg) continue;
      ans += (PI2 - calc()) * c[i].r;
    }
  printf("%.3lf\n", ans + PI2 * c[n].r);
  return 0;
}