[SCOI2007]排列
我先瞅了一眼数据范围，l <= 10, T <= 15,然后凭着我不灵光的数学10! * 15 = 54432000 ≈ 5e7,于是我们就水一发全排列，然后就卡过去了……
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<vector> 8 #include<queue> 9 #include<stack> 10 #include<cctype> 11 using namespace std; 12 #define enter puts("") 13 #define space putchar(' ') 14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a)) 15 typedef long long ll; 16 typedef double db; 17 const int INF = 0x3f3f3f3f; 18 const db eps = 1e-8; 19 const int maxn = 12; 20 inline ll read() 21 { 22 ll ans = 0; 23 char ch = getchar(), last = ' '; 24 while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar(); 25 while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar(); 26 if(last == '-') ans = -ans; 27 return ans; 28 } 29 inline void write(ll x) 30 { 31 if(x < 0) putchar('-'), x = -x; 32 if(x >= 10) write(x / 10); 33 putchar(x % 10 + '0'); 34 } 35 36 char c[maxn]; 37 int a[maxn]; 38 39 int main() 40 { 41 int T = read(); 42 while(T--) 43 { 44 Mem(c); Mem(a); 45 scanf("%s", c); int n = strlen(c); 46 int d = read(), ans = 0; 47 for(int i = 0; i < n; ++i) a[i] = c[i] - '0'; 48 sort(a, a + n); 49 do 50 { 51 ll x = 0; 52 for(int i = 0; i < n; ++i) x = x * 10 + a[i]; 53 if(!(x % d)) ans++; 54 }while(next_permutation(a, a + n)); 55 write(ans); enter; 56 } 57 }
然而大家都知道，我是个负责的人，怎么能发一篇这么水的博客呢？必须得叨叨正解呀。
因为 l <= 10（说第二遍了），所以可以状压dp，令dp[i][j]表示状态 i ，余数为 j 时的排列个数。i 就是一个长度为n的二进制数，第q位为1代表选了，否则没选，比如1101代表只选了第1,2和4个数时的状态。
然后我们建一个指针k扫 i 的每一位，如果该位为0，就有转移方程
dp[i ^ (1 << k)][(j + a[k]) % d] += dp[i][j],
这是啥意思咧，就是说状态为 i 的排列末尾加上a[k]这个数时的排列除以 d 得到的余数的排列个数。比如题中给的一串数：14536，然后 i = 11010,也就是说当前选的数是143，然后枚举k，发现6没选，于是当前状态就选了1436，然而根据后面的(j + a[k]) % d可以得出，这指的实际上是一个特定的排列1436，而不是1436这几个数的其他排列，为什么这时候指的就是一个排列呢？考虑1436组成的其他排列，比如1643，这实际上是由164转化而来，但有人会问，我们 i 也达不到这个状态呀！确实，不过164右可以由16转化过来，16是 i 能达到的。所以说，无论是什么排列，都能通过直接或间接的状态转移过来。因此一个状态实际上表示了很多的排列，枚举状态，就相当于枚举排列了。
这样的话转移方程就好理解了，如果第k位为0，那么状态 i ^ (1 << k) 就由 i 转移过来，至于第二维为什么是这个(j + a[k]) % d呢，很好证：令w表示状态 i 的排列得到的数，则 w % d = j,于是w = d * x + j,把a[k]放在w后面得到新的第二维 (10 * w + a[k]) % d = (10 * (d * x + j) + p) % d = (10 * j + a[k]) % d,证毕。
最后ans = dp[(1 << n) - 1][0]
.最后要考虑的一点，就是有重复的数字，那就除以它出现次数的阶乘次。
代码极好写
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdlib> 7 #include<vector> 8 #include<queue> 9 #include<stack> 10 #include<cctype> 11 using namespace std; 12 #define enter puts("") 13 #define space putchar(' ') 14 #define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a)) 15 typedef long long ll; 16 typedef double db; 17 const int INF = 0x3f3f3f3f; 18 const db eps = 1e-8; 19 const int maxn = 12; 20 const int max_size = 1e3 + 5; 21 inline ll read() 22 { 23 ll ans = 0; 24 char ch = getchar(), last = ' '; 25 while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar(); 26 while(isdigit(ch)) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + ch - '0', ch = getchar(); 27 if(last == '-') ans = -ans; 28 return ans; 29 } 30 inline void write(ll x) 31 { 32 if(x < 0) putchar('-'), x = -x; 33 if(x >= 10) write(x / 10); 34 putchar(x % 10 + '0'); 35 } 36 37 char c[maxn]; 38 int num[maxn]; 39 ll dp[1 << maxn][max_size]; 40 41 int main() 42 { 43 int T = read(); 44 while(T--) 45 { 46 Mem(c); Mem(num); Mem(dp); 47 scanf("%s", c + 1); int n = strlen(c + 1); 48 for(int i = 1; i <= n; ++i) num[c[i] - '0']++; 49 int d = read(); 50 dp[0][0] = 1; 51 for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) 52 for(int j = 0; j < d; ++j) 53 for(int k = 0; k < n; ++k) if(!(i & (1 << k))) 54 dp[i ^ (1 << k)][(j * 10 + c[k + 1] - '0') % d] += dp[i][j]; 55 ll ans = dp[(1 << n) - 1][0]; 56 for(int i = 0; i < 10; ++i) 57 for(int j = 1; j <= num[i]; ++j) ans /= j; 58 write(ans); enter; 59 } 60 }
