gcd以及exgcd入门讲解

gcd就是最大公约数，gcd(x, y)一般用(x, y)表示。与此相对的是lcm，最小公倍数，lcm(x, y)一般用[x, y]表示。

 

人人都知道：lcm(x, y) = x * y / gcd(x, y)

 

证明起来也不是很难：

（这真的是我自己写的，因为博客园不支持这格式……）

 

至于gcd的求法，想必各位在高中都学过辗转相除法和更相减损之术，这里只讲辗转相除法（更相减损之术略慢）

 

首先不妨设 x ≤ y,则gcd(x, y)  =gcd(x, x +y) = gcd(x, y - x).所以gcd(x, y) = gcd(y % x, x)，因此可以递归求解。

复杂度证明：因为y % x ≤ x && x ≤ y,所以y % x < y / 2。因此在最坏情况下为O(nlogn)。（用斐波那契数列的相邻两个数可以达到最坏复杂度）

 

那么接下来讲一下扩展gcd。

exgcd可以用来判断并求解形如ax +by = c 的方程，当且仅当gcd(a, b) | c时，存在整数解x, y。

也就是说，exgcd可以用来求解方程ax +by = gcd(a, b)

令a = b, b = a % b，则有方程b *x1 +(a % b) * y1 = gcd(b, a % b)

又因为gcd(a, b) = gcd(a % b)，且a % b = a - b * ⌊a / b⌋

则b * x1 + (a - b * ⌊a / b⌋) * y1  =gcd(a, b)

整理得：a * y1 +b * (x1 - ⌊a / b⌋ *y1) = gcd(a, b)

所以原方程中：x = y1, y = x1 - ⌊a / b⌋ *y1。于是我们只要递归求出x1, y1就能求出x, y。

代码很短

void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y, ll& c)
{
    if(!b) {y = 0; x = 1; c = a; return;}
    exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
}

其中c = gcd(a, b)

值得注意的是，递归调用的时候y的位置上传了x，x位置上是y，也就是说，y里存的是x1,x里存的是y1，所以y -= a / b *y1，即y -= a / b * x。

 

我们现在已经求得了ax +by = gcd(a, b)的解,那么对于方程ax + by = c (gcd(a, b) | c)呢？

因为已经知道a *x1 +b * y1 = gcd(a, b)的解x1, y1，左右两边同乘以c / gcd(a, b) 得：

a * x1 * c / gcd(a, b) +b * y1 * c / gcd(a, b) = c

则原方程的一组解x2 = x1 * c / gcd(a, b)， y2 = y1 * c / gcd(a, b)

由此得出解集{(x, y) | x = x2 + k * b / gcd(a, b)， y = y2 - k * a / gcd(a, b), k ∈ z}