RMQ模板

RMQ 即范围最小值问题 (Range Minimum Query)。给出一个 n 个元素的数组，设计一个数据结构，支持查询操作 Query(L, R)：计算该区间内的最小值。

如果用朴素的算法的话，每一次一个循环求解，那时间复杂度就达到了 O(mn)，显然不够快。在实践中，最常用的是 Tarjan 的 Sparse - Table(st 表)算法，主要功能是解决静态区间最值问题。它用 O(nlogn)预处理，而查询只用 O(1)，且常数很小。

这个算法具体是这么写的：开一个二维数组 dp[i][j] ，表示从 i 开始的，长度为 2 ^ j 的一段元素的最小值，这样就可以用递推的方法计算 dp[i][j] : dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i + 2 ^ (j - 1)][j - 1])。原理如下图所示：

可以看出，这是利用归并的思想。

因为2^j <= n，因此dp数组的元素个数不超过 nlogn 个，而且每一项都可以在常数时间计算完毕，所以时间复杂度为 O(nlogn)。上代码

void RMQ_init()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) dp[i][0] = a[i];    //此时长度为1,个只有一个元素。 
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; ++j)    
    /*长度一定要放在外层循环，这样才能保证每一个元素都被更新到 ,
    跟区间dp原理一样*/
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
        {
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
}

 

查询也很简单，令 k 满足 2 ^ k <= R - L + 1 的最大整数，则以 L 开头，R 结尾的两个长度为2 ^ k 的区间合起来就覆盖了要查询的区间 [L, R]。由于是取最小值，因此两个子区间有重叠的部分也没关系，代码如下

int query(int L, int R)
{
    int k = 0;
    while(1 << (k + 1) <= R - L + 1) k++;    
    //注意是 k + 1,而不是k，因为这么写的话，符合条件k还要再+1，就应返回dp[L][k - 1]了 
    return min(dp[L][k], dp[R - (1 << k) + 1][k]);
}

不过这样查询的时间复杂度就是 O(logn)。只要初始化 k，开一个数组 que[i]，代表长度为 i 时 k 的取值，查询的复杂度就能达到 O(1)了。

int k = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    if ((1 << k) <= i) k++; 
    que[i] = k - 1;
}

void query(int L, int R)
{
    int k = que[R - L + 1];
    return min(dp[L][k], dp[R - (1 << k) + 1][k]);
}