ICPC2021 沈阳站 M String Problem
牛客传送门
KMP的做法暂时没看懂，这里提供两种SAM的做法。
感谢樱花猪开喵喵车创大白熊和新手上路两队的代码提供的思路。
第一种做法稍麻烦一些：
对于每一个前缀，字典序最大的子串一定是该前缀的一个后缀，而比较这些后缀的方法就是选择这些后缀中，最靠前的不同的字符。如果将原串反过来，就可以用SAM维护了。
将反串建成SAM，然后对于后缀链接树上每一个节点\(u\)的出边\(v_i\)，按\(endpos[v] - len[u]\)在原串中的字符排序，这样就能优先访问字典序更大的子串了。
现在对于每个前缀都要求对应的最大后缀。可以倒着做：先将所有节点以dfs序为关键字扔到一个大根堆中，因为dfs序大的节点代表的子串一定大，那么如果当前堆顶代表的子串在枚举的当前前缀的范围内，那么这个子串就是答案，否则将堆顶弹出，再取堆中最大的元素。
这样时间复杂度是\(O(n \log n)\)，需要稍微加一些常数优化才能通过。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), las = ' ';
while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(las == '-') ans = -ans;
return ans;
}
In void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, ans[maxn];
char s[maxn];
struct Sam
{
int tra[maxn << 1][maxs], link[maxn << 1], len[maxn << 1], endp[maxn << 1], cnt, las;
In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}
In void insert(int c, int id)
{
int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
len[now] = len[p] + 1, endp[now] = id;
while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
if(p == -1) link[now] = 0;
else
{
int q = tra[p][c];
if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
else
{
int clo = ++cnt;
memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
len[clo] = len[p] + 1, endp[clo] = endp[q];
link[clo] = link[q], link[q] = link[now] = clo;
while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
}
}
las = now;
}
#define pr pair<int, int>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
int buc[maxn << 1], pos[maxn << 1];
vector<pr> V[maxn << 1];
int du[maxn << 1], dfn[maxn << 1], dcnt;
In void dfs(int now)
{
dfn[now] = ++dcnt;
for(auto x : V[now]) dfs(x.S);
}
In void buildGraph()
{
for(int i = 1; i <= cnt; ++i) buc[len[i]]++;
for(int i = 1; i <= cnt; ++i) buc[i] += buc[i - 1];
for(int i = 1; i <= cnt; ++i) pos[buc[len[i]]--] = i;
endp[0] = INF;
for(int i = cnt; i; --i)
{
int now = pos[i], fa = link[now];
du[fa]++;
endp[fa] = min(endp[fa], endp[now]);
V[fa].push_back(mp(s[endp[now] + len[fa]], now));
}
for(int i = 0; i <= cnt; ++i) sort(V[i].begin(), V[i].end());
dcnt = 0, dfs(0);
}
In void solve()
{
priority_queue<pr> q;
for(int i = 1; i <= cnt; ++i) if(!du[i]) q.push(mp(dfn[i], i));
for(int i = n, now = 0; i; --i)
{
while(!ans[i])
{
if(!now) now = q.top().S; //减少堆操作来优化常数
if(endp[now] + len[link[now]] > i)
{
q.pop();
if(now && !--du[link[now]]) q.push(mp(dfn[link[now]], link[now]));
now = 0;
}
else ans[i] = endp[now];
}
}
}
}S;
int main()
{
scanf("%s",s + 1);
n = strlen(s + 1); S.init();
for(int i = n; i; --i) S.insert(s[i] - 'a', i);
S.buildGraph(),
S.solve();
for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]), space, write(i), enter;
return 0;
}
第二种做法代码量相对来说短了不少，我认为是对暴力的一种优化。
首先这题一种\(O(n^2)\)的暴力做法是取出所有子串，并按字典序总大到小排序，记一个子串是\(S_{l \sim r}\)，那么\(ans[r]\)的答案就是第一个出现的\(S_{l \sim r}\)。
用SAM优化这个方法：用正串建完SAM后，贪心的在SAM上跑字典序最大的子串，那么第一个走到该节点的子串一定是最大的。又因为在同一个节点的子串结束位置相同，而且经过这个节点到达别的节点形成的子串前缀相同，所以后来经过这个节点形成的子串一定比第一次经过的要小，那么走过的节点就不用再走了。
时间复杂度就是\(O(27n)\).
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), las = ' ';
while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(las == '-') ans = -ans;
return ans;
}
In void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, ans[maxn];
char s[maxn];
struct Sam
{
int tra[maxn << 1][maxs], link[maxn << 1], len[maxn << 1], endp[maxn << 1], cnt, las;
In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}
In void insert(int c, int id)
{
int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
len[now] = len[p] + 1, endp[now] = id;
while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
if(p == -1) link[now] = 0;
else
{
int q = tra[p][c];
if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
else
{
int clo = ++cnt;
memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
len[clo] = len[p] + 1, endp[clo] = endp[q];
link[clo] = link[q], link[q] = link[now] = clo;
while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
}
}
las = now;
}
bool vis[maxn << 1];
In void dfs(int now, int l) //l：最大子串开始位置
{
vis[now] = 1;
for(int i = 25; i >= 0; --i) //在SAM贪心地走最大的
if(tra[now][i] && !vis[tra[now][i]]) dfs(tra[now][i], l + 1);
if(!ans[endp[now]]) ans[endp[now]] = endp[now] - l + 1;
}
}S;
int main()
{
scanf("%s",s + 1);
n = strlen(s + 1); S.init();
for(int i = 1; i <= n; ++i) S.insert(s[i] - 'a', i);
S.dfs(0, 0);
for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]), space, write(i), enter;
return 0;
}
还有一个就是kmp的做法，我虽然没看懂，不过也发一下代码吧。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), las = ' ';
while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(las == '-') ans = -ans;
return ans;
}
In void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
char s[maxn];
vector<int> f, g;
int main() //好短
{
scanf("%s",s + 1);
n = strlen(s + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
g.clear(), g.push_back(i);
for(auto x : f)
{
while(!g.empty() && s[x + i - g.back()] > s[i]) g.pop_back();
if(g.empty() || s[x + i - g.back()] == s[i]) g.push_back(x);
}
f.clear();
for(auto x : g)
{
while(!f.empty() && (i - f.back() + 1) * 2 > i - x + 1) f.pop_back();
f.push_back(x);
}
write(f.back()), space, write(i), enter;
}
return 0;
}
