CF1606E Arena

传送门


这是废物场的E题。D没想出来，看队友把E做出来了就去想E，结果到最后血本无归，啥也没有……


这题我觉得真挺难的，题意是：有\(n\)个英雄，每一轮存活的英雄会对其他存活的英雄都造成1点伤害，如此若干轮后，最后一个活着的人称为胜利者。现在给一个\(n\)和\(x(n,x \leqslant 500)\)，问有多少种分配初始血量的方案（初始血量在\(1\)到\(x\)之间），使最后没有胜利者。


正解是dp.dp的状态我就没想出来：令\(dp[i][j]\)表示当前剩余\(i\)个人，且他们都受到了\(j\)点伤害时的方案数。这个状态的利用了题目中的一个性质，当前存活的人受到的伤害一定是相同的。

然后我们考虑状态\(dp[i][j]\)能转移到哪儿：枚举\(k \in [0, i]\)，表示这一轮后，剩下\(k\)个人，那么这一轮造成的伤害\(nj = \min \{x, j + i - 1\}\)（伤害溢出就算\(x\)），因此在这一轮死掉的\(i - k\)个人，他们的血量一定是在\([j, nj)\)之间的，而这有\(C_{i}^{i-k} * (nj - j)^{i-k}\)种选法。那么dp转移方程就是：

\[dp[k][nj] += dp[i][j] * C_{i}^{i-k} (nj - j)^{i-k} \]

又因为题目中说不允许有胜者，那么\(dp[1][j]\)的状态就不转移出去。时间复杂度是\(O(n^2x)\)的。


赛后因为把模数写错了debug了半天（笑）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 505;
const int mod = 998244353;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

In ll ADD(ll a, ll b) {return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;}

int n, x;

ll C[maxn][maxn], p[maxn][maxn];
In void init()
{
	C[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= i; ++j) C[i][j] = ADD(C[i - 1][j], C[i - 1][j - 1]);
	}
	p[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= x; ++i)
	{
		p[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= n; ++j) p[i][j] = p[i][j - 1] * i % mod;
	}
}

ll dp[maxn][maxn];

int main()
{
	n = read(), x = read();
	init();
	dp[n][0] = 1;
	for(int i = n; i > 1; --i)
		for(int j = 0; j < x; ++j)
		{
			int nj = min(j + i - 1, x);
			for(int k = i; k >= 0; --k)
				dp[k][nj] = ADD(dp[k][nj], dp[i][j] * C[i][k] % mod * p[nj - j][i - k] % mod);
		}
	ll ans = 0;
	for(int i = 0; i <= x; ++i) ans = ADD(ans, dp[0][i]);
	write(ans), enter;
	return 0;
}