HDU7073 Integers Have Friends 2.0

传送门


这题真有意思。题目还特意说了是最近一场cf的加强版，结果跟cf那道题的做法几乎是完全不一样，竟然用随机过掉了。


先说一下cf那道题的题意：给一个长度为\(n\)的序列\(a\)，让你选择一个最长的子区间\([l,r]\)，满足\(\exists m\)，使得所有\(a_i \in [l,r]\)在\(\textrm{mod} \ \ m\)意义下同余，输出最长子区间长度。

对于这道题，我们只要预处理出差分数组，然后选择最长的区间，满足该区间内的最大公约数大于\(1\)即可。我当时用st表预处理+二分写的。


而今天的比赛题，将子区间改成了子序列。

这就大有不同了，首先应该发现的是，答案必然大于等于\(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)，即当\(m=2\)时的答案。

这一点，为接下来的随机化算法提供了理论依据：我们随机两个位置\(x,y\)，那么\(a_x,a_y\)都在答案中的最长子序列的概率必然不小于\(\frac1{4}\).如果随机\(K\)次并取每一次的最大值，那么失误的概率就是\((\frac{3}{4})^K\)，当\(K=30\)的时候就是\(10^{-3}\)级别了，可几乎认为是正确的了。

因此我们随机\(K\)次，然后每次随机，用\(|a_x-a_y|\)的所有质因子作为模数去求最长子序列长度，这样时间复杂度就是\(O(Kp(\sqrt{\textrm{max} \ \ a_i})+11nK)\)，其中\(p(n)\)表示\(n\)以内的质数个数，是\(O(\frac{n}{\log n})\)级别，\(11\)是\(4*10^{12}\)以内不同的质数的个数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int maxn = 3e6 + 5;
const int K = 30;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n;
ll a[maxn];

bool vis[maxn];
int p[maxn], pcnt = 0;
In void init()
{
	for(int i = 2; i < maxn; ++i) if(!vis[i])
	{
		p[++pcnt] = i;
		for(int j = i; 1LL * j * i < maxn; ++j) vis[j * i] = 1;
	}
}

In int check(ll p, ll r)
{
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) cnt += (a[i] % p == r);
	return cnt;
}
In int solve()
{
	int ret = 1;
	for(int k = 1; k <= K; ++k)
	{
		int x = rand() % n + 1, y = rand() % n + 1;
		while(x == y) x = rand() % n + 1, y = rand() % n + 1;
		ll tp = abs(a[x] - a[y]);
		for(int i = 1; 1LL * p[i] * p[i] <= tp; ++i)
		{
			if(tp % p[i] == 0)
			{
				ret = max(ret, check(p[i], a[x] % p[i]));
				while(tp % p[i] == 0) tp /= p[i];
			}
		}
		if(tp > 1) ret = max(ret, check(tp, a[x] % tp));
	}
	return ret;
}

int main()
{
	srand(time(0));
	init();
	int T = read(); 
	while(T--)
	{
		n = read();
		for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
		write(solve()), enter;
	}
	return 0;
}