CF451E Devu and Flowers

传送


题面：有\(n(n \leqslant 20)\)种花，每种花的数量\(f_i(f_i \leqslant 10^{12})\)已知，现在要取\(s(s \leqslant 10^{14})\)朵，求方案数。
继续练习生成函数。


这道题的生成函数非常好推，就是$$\prod_{i=1}^n \frac{1-x^{f_i+1}}{1-x}$$
然后用广义二项式定理进行化简：

\[\begin{align*} \prod_{i=1}^n \frac{1-x^{f_i+1}}{1-x} &= \frac{\prod_{i=1}^n (1-x^{f_i+1})}{(1-x)^n}\\ &= \prod_{i=1}^n (1-x^{f_i+1})\sum_{k=0}^\infty C_{n+k-1}^{n-1}x^k\\ \end{align*}\]

因为\(n\)只有\(20\)，所以前面的乘积可以暴力乘，但因为次数很大，所以不能用次数作为数组下标，开一个结构体模拟一下即可。

这样乘完后是一个有限项的多项式，我们枚举这个多项式的所有项\(a_ix^i\)，结合后面的展开式，答案就是\(\sum\limits_{i} a_i * C_{n + s - i - 1} ^{n-1}\).

需要注意的是，组合数\(C_{n}^m\)中的\(n\)很大，\(m\)很小，所以应该暴力算出来\(\frac{n!}{m!}\)，再乘以\(\frac1{m!}\).


这道题的主要收获是，算法竞赛中的数学题，不一定要推出\(O(1)\)的式子，可以结合数据范围在适当位置进行暴力求解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int maxn = 25;
const ll mod = 1e9 + 7;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

ll f[maxn], inv[maxn];
In ll ADD(ll a, ll b) {return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;}
In ll quickpow(ll a, ll b)
{
	ll ret = 1;
	for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
		if(b & 1) ret = ret * a % mod;
	return ret; 
}

In ll C(ll n, int m)
{
	ll ret = 1;
	for(ll i = n - m + 1; i <= n; ++i) ret = ret * (i % mod) % mod;
	return ret * inv[m] % mod;
}

int n;
ll s, a[maxn];

#define pr pair<ll, ll>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
vector<pr> v[2];
In ll solve()
{
	int o = 0;
	v[o].push_back(mp(0, 1));
	for(int i = 1; i <= n; ++i, o ^= 1)
	{
		v[o ^ 1] = v[o];
		for(int j = 0, k = 0; j < (int)v[o].size(); ++j)
		{
			ll tp = v[o][j].F + a[i] + 1;
			while(k < (int)v[o ^ 1].size() && v[o ^ 1][k].F < tp) ++k;
			if(k < (int)v[o ^ 1].size() && v[o ^ 1][k].F == tp) v[o ^ 1][k].S = ADD(v[o ^ 1][k].S, mod - v[o][j].S);
			else v[o ^ 1].push_back(mp(tp, mod - v[o][j].S));
		}
		v[o] = v[o ^ 1];
	}
	ll ans = 0;
	for(auto x : v[o]) 
		if(x.F <= s) ans = ADD(ans, x.S * C(n - 1 + s - x.F, n - 1) % mod);
	return ans;
}

int main()
{
	f[0] = inv[0] = 1;
	for(int i = 1; i < maxn; ++i) f[i] = f[i - 1] * i % mod;
	inv[maxn - 1] = quickpow(f[maxn - 1], mod - 2);
	for(int i = maxn - 2; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	n = read(), s = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	write(solve()), enter; 
	return 0;
}