HDU7049 Link with Grenade

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这题完全是一道数学题，前几步初等数学，后几步高等数学。


对于3d空间，都能想到像橘子瓣儿一样取出一个薄片，算出那个不会被炸到的角度占\([0,\pi]\)的比例.记和\(z\)轴正向的夹角为\(\varphi\)，用初中物理知识可以得到

\[\cos \varphi \leqslant \frac{v_0^2t^2+25t^4-r^2}{10v_0t^3}(g=10已代入) \ \ \ \ (1) \]

由此可见，\(\cos\varphi\)是一个有理数，那么\(\varphi\)也是一个有理数的概率很小，因此直接求角的方法似乎行不通。


回到三维空间，我们根据角度画出单位球，那么会被炸到的地方就是一个球冠，因此可以用球冠的表面积比上整个球的表面积\(4\pi R^2\)，就能求出被炸到的概率。

那球冠的表面积怎么求？有公式，背住就更好。背不住可以用积分：一种是用元素法，但我元素法学的不太好，遂用第一类曲面积分（然而早忘了，现复习的），我们要求的，无非是

\[\iint\limits_\sum \textrm{d}S \]

其中\(\textrm{d}S=R^2\sin\varphi\textrm{d}\varphi\textrm{d}\theta\)，那么

\[\iint\limits_\sum \textrm{d}S=R^2 \int_{0}^{\varphi_0}\sin\varphi\textrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\textrm{d}\theta \]

这个当然好解，解出来是\(2\pi R^2(1-\cos\varphi_0)\)，这样就能算出来不被炸到的概率：

\[P=1-\frac{2\pi R^2(1-\cos\varphi_0)}{4\pi R^2}=\frac{1+\cos\varphi_0}{2} \]

由(1)可知，\(\cos\varphi_0\)是个有理数，因此这样算出来的概率就是有理数。

最后别忘了判断一定会被炸到和一定炸不到的情况，即分别让(1)式右侧\(\geqslant 1\)和\(\leqslant -1\)，得出两个不等式。而且因为题目给的\(v_0,t,R\)范围不大于\(100\)，正好就可以在long long范围内进行比较大小。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

In ll quickpow(ll a, ll b)
{
	a %= mod;
	ll ret = 1;
	for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
		if(b & 1) ret = ret * a % mod;
	return ret;
}

In ll solve(ll t, ll v, ll r)
{
	ll tp1 = v * v * t * t + 25LL * t * t * t * t - r * r;
	ll tp2 = 10LL * v * t * t * t;
	if(tp2 + tp1 <= 0) return 0;
	if(tp1 - tp2 >= 0) return 1;
	return ((tp1 % mod + mod) % mod * quickpow(tp2, mod - 2) % mod + 1) * quickpow(2, mod - 2) % mod;
}

int main()
{
	int T = read();
	while(T--)
	{
		ll t = read(), v = read(), r = read();
		write(solve(t, v, r)), enter;
	}
	return 0;
}