UVa10779 Collectors Problem 收集者的难题

传送


题面：Bob和他的朋友从糖果包装里收集贴纸。朋友每人手里都有一些(可能有重复的)贴纸，并且只跟别人交换他所没有的。总是一对一交换。Bob比这些朋友更聪明，因为他意识到只跟别人交换自己没有的贴纸并不总是最优的。在某些情况下，换来一张重复贴纸更划算。假设Bob的朋友只和Bob交换(他们之间不交换)，并且这些朋友只会出让重复贴纸来交换没有的不同贴纸。帮Bob算出最终可以得到的不同贴纸的最大数量。


这题现在我只是理解了建模的思路，但是原因没有想明白。


首先我们建立源汇点\(s,t\)，分别表示Bob能换出去和能收回来的贴纸数量。
然后再建立\(m\)个点，表示每种贴纸。那\(s\)向每一种贴纸连边，容量是Bob拥有该糖纸的数量；每种贴纸向\(t\)连边，容量是1，这样就能求出种类数。
这样在没有和其他人交换的情况下，我们的图就建立完了。


如果考虑和人交换，那就应该把\(m\)个贴纸作为交换的媒介，一端是Bob，另一端是\(n-1\)个人。
因为每个人只会交换重复的贴纸，所以如果第\(i\)个人有\(a\)个贴纸\(j\)，那么就从\(i\)向\(j\)连边，容量为\(a-1\)，代表第\(i\)个人能换出去\(a-1\)个贴纸\(j\)；否则若没有种类\(j\)，就从\(j\)向\(i\)连边，容量为\(1\)，代表第\(i\)个人最多会接受一个贴纸\(j\)。


这样我们以\(m\)个贴纸作为中转，就建立了一个交换系统。而且会发现，一切的交换都是从源点，即Bob开始的：如果第\(i\)个人换出了一个贴纸，那么必然是有一条流从源点流到\(i\)，再从\(i\)流向贴纸\(j\)，即一定是Bob先把贴纸给他，他才会给出贴纸，正与题目契合。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<ctime>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 40;
const int maxm = 30;
const int maxe = 1e3 + 5;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, m, s, t;
struct Edge
{
	int nxt, to, cap, flow;
}e[maxe];
int head[maxn], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y, int w)
{
	e[++ecnt] = (Edge){head[x], y, w, 0};
	head[x] = ecnt;
	e[++ecnt] = (Edge){head[y], x, 0, 0};
	head[y] = ecnt;
}

int num[maxm];
In void buildGraph()
{
	s = 0, t = n + m;
	int K = read(); Mem(num, 0);
	for(int i = 1; i <= K; ++i) num[read()]++;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) addEdge(s, i, num[i]), addEdge(i, t, 1);
	for(int i = 1; i < n; ++i)
	{
		K = read(); Mem(num, 0);
		for(int j = 1; j <= K; ++j) num[read()]++;
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
			if(num[j] > 1) addEdge(i + m, j, num[j] - 1);
			else if(!num[j]) addEdge(j, i + m, 1);
	}
}

int dis[maxn];
In bool bfs()
{
	Mem(dis, 0), dis[s] = 1;
	queue<int> q; q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int now = q.front(); q.pop();
		for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
			if(e[i].cap > e[i].flow && !dis[v = e[i].to])
				dis[v] = dis[now] + 1, q.push(v);
	}
	return dis[t];
}
int cur[maxn];
In int dfs(int now, int res)
{
	if(now == t || res == 0) return res;
	int flow = 0, f;
	for(int& i = cur[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
	{
		if(dis[v = e[i].to] == dis[now] + 1 && (f = dfs(v, min(res, e[i].cap - e[i].flow))) > 0)
		{
			e[i].flow += f, e[i ^ 1].flow -= f;
			flow += f, res -= f;
			if(res == 0) break;
		}
	}
	return flow;
}
In int maxFlow()
{
	int flow = 0;
	while(bfs())
	{
		memcpy(cur, head, sizeof(head));
		flow += dfs(s, INF);
	}
	return flow;
}
int main()
{
//	MYFILE();
	int T = read(), ID = 0;
	while(T--)
	{
		Mem(head, -1), ecnt = -1;;
		n = read(), m = read();
		buildGraph();
		printf("Case #%d: %d\n", ++ID, maxFlow());
	}
	return 0;
}