POJ3565 Ants 蚂蚁(NEERC 2008)

传送


题面：给出\(n\)个白点和\(n\)个黑点的坐标, 要求用\(n\)条不相交的线段把它们连接起来, 其中每条线段恰好连接一个白点和一个黑点, 每个点恰好连接到一条线段。


看这个题面就知道跟二分图有关，但实际上这题挺奇妙的，不看题解真的想不出来。


首先这道题用到的是一个叫“KM算法”的东西。KM算法用来解决二分图最佳完美匹配问题，即满足一个带权二分图完美匹配的同时，使匹配的边权值和最大。
关于KM算法本身我还没有理解，现在只是会用罢了。


回到这道题，先建立二分图：把所有黑点作为左部点和所有作为右部点的白点相连，边权为两点的欧氏距离。
接下来是这道题的关键：如果在完美匹配时有两条线段\(A_1B_1\)和\(A_2B_2\)相交，那么必然有\(A_1B_1+A_2B_2>A_1B_2+A_2B_1\)，也就是说这不是权值和最小的匹配。于是我们可以将相交线段变成不相交的\(A_1B_2\)和\(A_2B_1\)，来减小匹配权值和。
那么也就说明，当完美匹配权值和最小的时候，所以线段必然不相交。
所以我们把边权取相反数，套用KM算法即可。


关于KM算法，我暂时用的是dfs版的，所以在其他题特别构造的数据上会被卡。而且比较奇特的是，我照网上写的dfs版的会TLE，照老师写的几乎一模一样的就AC了，我想了好久也没想明白。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<ctime>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const db INF = 1e14;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 105;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n, x1[maxn], y1[maxn], x2[maxn], y2[maxn];
db G[maxn][maxn];

In db dis(db x1, db y1, db x2, db y2) {return sqrt((x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2));}

int lft[maxn];
bool vx[maxn], vy[maxn];
db lx[maxn], ly[maxn];
In bool dfs(int now)
{
	vx[now] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) 
		if(!vy[i] && lx[now] + ly[i] - G[now][i] < eps)
		{
			vy[i] = 1;
			if(!lft[i] || dfs(lft[i])) {lft[i] = now; return 1;}
		}
	return 0;
}
In void KM()
{
	for(int i = 1; i <= n; ++i)	
		for(int j = 1; j <= n; ++j) lx[i] = max(lx[i], G[i][j]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		while(1)
		{
			Mem(vx, 0), Mem(vy, 0);
			if(dfs(i)) break;
			db d = INF;
			for(int j = 1; j <= n; ++j) if(vx[j])
				for(int k = 1; k <= n; ++k) if(!vy[k])	
					d = min(d, lx[j] + ly[k] - G[j][k]);
			for(int j = 1; j <= n; ++j)  //这个叫“顶标”的东西我是真没搞明白
			{
				if(vx[j]) lx[j] -= d;
				if(vy[j]) ly[j] += d;
			}
		}
	}
}

int ans[maxn];

int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) x1[i] = read(), y1[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) x2[i] = read(), y2[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j) 
			G[i][j] = -dis(x1[i], y1[i], x2[j], y2[j]);
	KM();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) ans[lft[i]] = i;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]), enter;
	return 0;
}