[NOI2010]海拔

嘟嘟嘟


首先明确一点的就是，每一个个点的海拔只可能是0或1.
至于证明，也不难。自己画一个点，周围连着一些海拔为0或1的点，然后发现无论什么情况，这个点的海拔取或1的时候都是最优的。


既然知道这一点了，那也就是说，对于每一条边，要么不耗体力，要么消耗\(w_i\)的体力。
然后数据范围就告诉我们是最小割。


暴力建图的话，\(500 * 500\)个点开了O2后竟然只TLE了一个点。
所以还得转化成对偶图。


对偶图就是把每一个被分割的面看成一个点，然后一条边分开了两个面，就在这两个面代表的点之间连边（所以可以有自环）。然后从\(s\)到\(t\)连一条虚边（自己心里想着就行），这样就多了一个面，这个面作为第\(0\)号面，也就是新图的起点；整个图外面的面就是终点。
然后就有这么个神奇的性质：从起点到终点的每一条路径，都对应原图的一条割。
所以我们把边权赋成容量，跑最短路就可以了。


这道题是有向边，我们就规定新边的方向是往指向方向的右侧旋转90度后的方向。
参考：《浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 3e5 + 5;
const int maxe = 2e7 + 5;
inline ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), last = ' ';
	while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(last == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
inline void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n, t;
struct Edge
{
	int nxt, to, w;
}e[maxe];
int head[maxn], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y, int w)
{
	e[++ecnt] = (Edge){head[x], y, w};
	head[x] = ecnt;
}

In int N(int x, int y) {return (x - 1) * n + y;}

#define pr pair<int, int>
#define mp make_pair
bool in[maxn];
int dis[maxn];
In void dijkstra(int s)
{
	Mem(dis, 0x3f), dis[s] = 0;
	priority_queue<pr, vector<pr>, greater<pr> > q;
	q.push(mp(0, s));
	while(!q.empty())
	{
		int now = q.top().second; q.pop();
		if(in[now]) continue;
		in[now] = 1;
		for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
		{
			if(dis[v = e[i].to] > dis[now] + e[i].w)
			{
				dis[v] = dis[now] + e[i].w;
				q.push(mp(dis[v], v));
			}
		}
	}
}

int main()
{
	Mem(head, -1);
	n = read(); t = n * n + 1;
	for(int i = 1; i <= n + 1; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			int w = read();
			if(i == 1) addEdge(0, N(i, j), w);
			else if(i == n + 1) addEdge(N(i - 1, j), t, w);
			else addEdge(N(i - 1, j), N(i, j), w);
		}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= n + 1; ++j)
		{
			int w = read();
			if(j == 1) addEdge(N(i, j), t, w);
			else if(j == n + 1) addEdge(0, N(i, j - 1), w);
			else addEdge(N(i, j), N(i, j - 1), w);
		}
	for(int i = 1; i <= n + 1; ++i)
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			int w = read();
			if(i == 1) addEdge(N(i, j), 0, w);
			else if(i == n + 1) addEdge(t, N(i - 1, j), w);
			else addEdge(N(i, j), N(i - 1, j), w);
		}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= n + 1; ++j)
		{
			int w = read();
			if(j == 1) addEdge(t, N(i, j), w);
			else if(j == n + 1) addEdge(N(i, j - 1), 0, w);
			else addEdge(N(i, j - 1), N(i, j), w);
		}
	dijkstra(0);
	write(dis[t]), enter;
	return 0;
}