[SDOI2016]征途

嘟嘟嘟


这题跟[APIO2014]序列分割极像，做法也几乎相同。


首先令\(dp[i][j]\)表示前\(i\)个数分为\(j\)段的最小方差，转移方程也很简单，就是枚举和上一段的分割位置。
唯一恶心的就是化简式子。
大力推方差式子后，得出了这个东西：

\[ns ^ 2 = \sum _ {i = 1} ^ {n} x _ i ^ 2 - S ^ 2 \]

其中\(S = \sum x_i\)。
一定要要耐心，够仔细，否则推不出来（我就推了3遍才推出来……）
但这样直接上斜率优化的话比较麻烦，参数太多。所以这时候要脑子灵活一点，看到上面的式子发现只有一个\(\sum a_i ^ 2\)要求，剩下都是常量，于是我们令\(f[i][j]\)表示最大平方和，则

\[f[i][j] = min \{ f[i][j], f[k][j - 1] + (sum[i] - sum[k]) ^ 2 \} \]

然后就可以滚动数组加斜率优化了。
假设\(t_1 < t_2\)，且\(t_2\)比\(t_1\)优，那么就可以推出这么个式子

\[\frac{(f[t_1] + sum[t_1] ^ 2) - (f[t_2] + sum[t_2] ^ 2)}{sum[t_1] - sum[t_2]} \leqslant 2sum[i] \]

需要注意的是，得手动初始化\(f[i] = sum[i] ^ 2\)，然后滚动\(m - 1\)次。因为上述优化对\(m = 1\)不成立。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 3e4 + 5;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m;
ll sum[maxn], f[maxn], g[maxn];
int q[maxn];

In db slope(int i, int j)
{
  if(sum[i] == sum[j]) return -INF;
  return (1.0 * (g[i] + sum[i] * sum[i]) - (g[j] + sum[j] * sum[j])) / (sum[i] - sum[j]);
}

int main()
{
  //freopen("ha.in", "r", stdin);
  //freopen("ac.out", "w", stdout);
  n = read(), m = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + read(), g[i] = sum[i] * sum[i];
  for(int j = 1; j < m; ++j)
    {
      int l = 1, r = 0;
      for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
	  while(l < r && slope(q[l], q[l + 1]) < 2 * sum[i]) ++l;
	  ll s = sum[i] - sum[q[l]];
	  f[i] = g[q[l]] + s * s;
	  while(l < r && slope(q[r], q[r - 1]) > slope(q[r], i)) --r;
	  q[++r] = i;
	}
      for(int i = 1; i <= n; ++i) g[i] = f[i];
    }
  write(f[n] * m - sum[n] * sum[n]), enter;
  return 0;
}

然后我因为把` slope(q[r], q[r - 1]) > slope(q[r], i) `写成了` slope(q[r], q[r - 1] > slope(q[r], i))`debug到怀疑人生。为啥最近总出些这么奇怪的错误咧……