[TJOI2017]城市
嘟嘟嘟
这题刚开始想复杂了,想什么dp去了,其实没那么难。
考虑断掉一条边,记分离出来的两棵子树为A和B,那么合并后的树的直径可能有三种情况:
1.A的直径。
2.B的直径
3.A的半径+边权+B的半径。
半径是啥?记从点\(i\)出发到树上任意一点的最长距离为\(f[i]\),则树的半径就是\(min \{ f[i] \}\)(此题需要min,严格定义我也不知道是max还是min)。
所以我们\(O(n)\)枚举断边,\(O(n)\)求树的直径和半径即可。
直径不必说,说一下怎么求半径。
对于点\(v\),记\(v\)的父亲为\(u\), \(v\)的半径有这么几种情况:
1.\(v\)子树内的最长链。
2.\(v\)子树外,\(u\)子树内的一条链 + \(dis(u, v)\)。
3.\(u\)子树外的最长链 + \(dis(u, v)\)。
对于情况1,求树的直径的时候就维护好了。
对于情况2,我们需要维护最长连和次长链。然后如果\(v\)在\(u\)的最长链上,就是\(u\)的次长链 + \(dis(u, v)\);否则就是\(u\)的最长链 + \(dis(u, v)\)。
对于情况3,在dfs的时候维护一个fro,表示\(u\)子树外的最长链,维护fro的时候也向情况2分两种情况,分别更新即可。
答案就是所以直径的min。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e3 + 5;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
struct Node
{
int x, y, w;
}t[maxn];
struct Edge
{
int nxt, to, w;
}e[maxn << 1];
int head[maxn], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y, int w)
{
e[++ecnt] = (Edge){head[x], y, w};
head[x] = ecnt;
}
bool col[maxn];
int dp1[maxn], dp2[maxn], dia_Max = 0;
In void dfs(int now, int _f, int c)
{
dp1[now] = 0, col[now] = c;
int Max1 = 0, Max2 = 0;
for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
{
if((v = e[i].to) == _f) continue;
dfs(v, now, c);
if(dp1[v] + e[i].w > Max1) Max2 = Max1, Max1 = dp1[v] + e[i].w;
else if(dp1[v] + e[i].w > Max2) Max2 = dp1[v] + e[i].w;
}
dp1[now] = Max1; dp2[now] = Max2;
dia_Max = max(dia_Max, Max1 + Max2);
}
int f[maxn];
In void dfs2(int now, int _f, int fro)
{
int tp = 0;
for(int i = head[now], v; ~i; i = e[i].nxt)
{
if((v = e[i].to) == _f) continue;
if(dp1[v] + e[i].w == dp1[now])
{
f[v] = max(dp1[v], dp2[now] + e[i].w);
tp = max(dp2[now], fro);
}
else
{
f[v] = max(dp1[v], dp1[now] + e[i].w);
tp = max(dp1[now], fro);
}
f[v] = max(f[v], tp + e[i].w);
dfs2(v, now, tp + e[i].w);
}
}
int main()
{
Mem(head, -1);
n = read();
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
int x = read(), y = read(), w = read();
t[i] = (Node){x, y, w};
addEdge(x, y, w), addEdge(y, x, w);
}
int ans = INF;
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
dia_Max = 0;
dfs(t[i].x, t[i].y, 0), dfs(t[i].y, t[i].x, 1);
f[t[i].x] = dp1[t[i].x], f[t[i].y] = dp1[t[i].y];
dfs2(t[i].x, t[i].y, 0), dfs2(t[i].y, t[i].x, 0);
int pos1 = t[i].x, pos2 = t[i].y;
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if(!col[j] && f[j] < f[pos1]) pos1 = j;
if(col[j] && f[j] < f[pos2]) pos2 = j;
}
ans = min(ans, max(dia_Max, f[pos1] + f[pos2] + t[i].w));
}
write(ans), enter;
return 0;
}