[APIO2016]划艇

嘟嘟嘟


首先有一个dp很好想：dp[i][j]表示前\(i\)所学校中，第\(i\)所学校派出了\(j\)艘划艇的方案数、
然后\(O(n ^ 2)\)枚举就行了。
但问题是\(j\)太大了。一般对于大的数，都可以考虑离散化，dp这里也可行。


离散化后，所有的数就被分成一段段的。令dp[i][j]表示前\(i\)所学校中，第\(i\)所学校派出的潜艇的数量在第\(j\)段时的方案数。
但因为多所学校排除的潜艇数量可能在一段里，所以要再加一维\(k\)，表示第\(j\)段里有\(k\)所学校派出了舰艇。
转移的时候考虑第\(i\)所学校派不派舰艇：

\[dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + \sum_{x = 0} ^ {j - 1} \sum_{y = 0} ^ {i - 1} dp[i - 1][x][y] \]

\[dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j][k - 1] * \frac{ C_{len} ^ {k}}{ C_{len} ^ {k - 1}} \]

然后第一个式子里的两个\(\sum\)可以用前缀和维护，复杂度就是\(O(n ^ 3)\)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 505;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, a[maxn], b[maxn];

int t[maxn << 1], cnt = 0;
ll inv[maxn];
In void init()
{
  for(int i = 1; i <= n; ++i) t[++cnt] = a[i], t[++cnt] = b[i];
  sort(t + 1, t + cnt + 1);
  cnt = unique(t + 1, t + cnt + 1) - t - 1;
  inv[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
}

ll dp[maxn << 1][maxn], sum[maxn << 1];
int lim[maxn << 1];

int main()
{
  n = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), b[i] = read() + 1;
  init();
  dp[0][0] = 1;
  for(int i = 0; i < cnt; ++i) sum[i] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
      int L = lower_bound(t + 1, t + cnt + 1, a[i]) - t;
      int R = lower_bound(t + 1, t + cnt + 1, b[i]) - t;
      for(int j = L; j < R; ++j)
	{
	  ++lim[j];
	  for(int k = lim[j]; k > 1; --k)
	    dp[j][k] = (dp[j][k] + dp[j][k - 1] * (t[j + 1] - t[j] - k + 1) % mod * inv[k] % mod) % mod;
	  dp[j][1] = (dp[j][1] + sum[j - 1] * (t[j + 1] - t[j]) % mod) % mod;
	}
      for(int j = 1; j < cnt; ++j)
	{
	  sum[j] = sum[j - 1];
	  for(int k = 1; k <= lim[j]; ++k) sum[j] = (sum[j] + dp[j][k]) % mod;
	}
    }
  write((sum[cnt - 1] - 1 + mod) % mod), enter;
  return 0;
}