ZOJ2314 Reactor Cooling

嘟嘟嘟vjudge


上下界网络流问题一般分为两种，一是求可行流，二是求最大/最小流。这道题属于第一种。
准确说是第一种问题的板子题。


直接讲做法吧：
设从\(x\)到\(y\)有一条容量不小于\(b\)，不大于\(c\)的边。
1.从\(x\)向\(y\)连一条\(c - b\)的边。
2.统计每一个点的\(d(i)\)：\(d(i)\) = 最低流出量\(-\)最低流入量。
3.新建附加源点汇点\(s, t\)。若\(d(x) < 0\)，则从\(s\)向\(x\)连一条容量为\(-d(x)\)的边；否则从\(x\)向汇点连一条容量为\(d(x)\)的边。
4.跑最大流。
5.如果附加汇流满了，则存在可行流，每一条边的流量为\(flow_i + b_i\)。


理解起来也不难。就是我们先硬性规定每一条边必须流他的最小流量。那么这自然会导致有些点的流量不守恒，因此新建一些边来补充或减少流量：如果这条边的流入大于流出，就向汇点连边疏散流量；如果流入小于流出，就从源点连边补流量。
而只有这些新加入的边流满，才说明这个图的流量守恒，所以跑最大流后检验新边的流量即可。
而且还能得知，从附加源出发的边的容量之和一定等于到附加汇的边的容量之和，所以只用检验\(s\)或\(t\)一个点的出边即可。


UPDATE19.04.24：证明看这里！上下界网络流构图证明

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 205;
const int maxe = 1e5 + 5;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m, s, t;
int d[maxn], b[maxe], path[maxe];

struct Edge
{
  int nxt, from, to, cap, flow;
}e[maxe];
int head[maxn], ecnt = -1;
void addEdge(int x, int y, int w)
{
  e[++ecnt] = (Edge){head[x], x, y, w, 0};
  head[x] = ecnt;
  e[++ecnt] = (Edge){head[y], y, x, 0, 0};
  head[y] = ecnt;
}

int dis[maxn];
bool bfs()
{
  Mem(dis, 0); dis[s] = 1;
  queue<int> q; q.push(s);
  while(!q.empty())
    {
      int now = q.front(); q.pop();
      for(int i = head[now], v; i != -1; i = e[i].nxt)
	if(!dis[v = e[i].to] && e[i].cap > e[i].flow)
	  {
	    dis[v] = dis[now] + 1;
	    q.push(v);
	  }
    }
  return dis[t];
}
int cur[maxn];
int dfs(int now, int res)
{
  if(now == t || res == 0) return res;
  int flow = 0, f;
  for(int& i = cur[now], v; i != -1; i = e[i].nxt)
    {
      if(dis[v = e[i].to] == dis[now] + 1 && (f = dfs(v, min(e[i].cap - e[i].flow, res))) > 0)
	{
	  e[i].flow += f; e[i ^ 1].flow -= f;
	  flow += f; res -= f;
	  if(res == 0) break;
	}
    }
  return flow;
}

int maxflow()
{
  int flow = 0;
  while(bfs()) memcpy(cur, head, sizeof(head)), flow += dfs(s, INF);
  return flow;
}

int main()
{
  int T = read();
  while(T--)
    {
      Mem(head, -1); ecnt = -1; Mem(d, 0);
      n = read(); m = read(); s = 0; t = n + 1;
      for(int i = 1, x, y, c; i <= m; ++i)
	{
	  x = read(), y = read(); b[i] = read(), c = read();
	  path[i] = ecnt + 1;
	  addEdge(x, y, c - b[i]);
	  d[x] += b[i]; d[y] -= b[i];
	}
      int tot = 0;
      for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
	  if(d[i] < 0) addEdge(s, i, -d[i]);
	  else addEdge(i, t, d[i]), tot += d[i];
	}
      if(maxflow() < tot) puts("NO");
      else 
	{
	  puts("YES");
	  for(int i = 1; i <= m; ++i) write(e[path[i]].flow + b[i]), enter;
	}
      if(T) enter;
    }
  return 0;
}