随笔分类 - 数论
摘要：前几天做了一道计数题，本来挺水的，非得出成模数不是质数，于是我就来学扩展卢卡斯了。 这东西感觉还不难，比较好理解。 我们要求的就是$C_{n} ^ {m} \% p$。因为$p$不一定是质数，所以可以把$p$质因数分解，后求出$C_{n} ^ {m} \% p _ {i} ^ {k}$的解，这样用中
阅读全文
摘要：嘟嘟嘟 题中给的$k$有点别扭，我们转换成$a > b$的对数是多少，这个用二元一次方程解出来是$\frac{n + k}{2}$。 然后考虑dp，令$dp[i][j]$表示前$i$个数中，有$j$对满足$a > b$的方案数，转移的时候考虑这一组是否满足$a > b$即可：\(dp[i][j] =
阅读全文
摘要：前几天学了一下二项式反演的证明，咕了几天后觉得还是发一篇博客比较好。 二项式反演，就是这么个式子： $f(n) = \sum _ {i = 0} ^ {n} C_{n} ^ {i} g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum _ {i = 0} ^ {n} ( 1) ^ {n
阅读全文
摘要：嘟嘟嘟 这题思路还是非常显然的，烦人的就是模数不是质数。 只考虑限制2，就是插板法，先强制让后面的未知数选那么多球。 加上了限制1，因为$n1 \leqslant 8$，那直接$O(2 ^ 8)$暴力容斥即可。 细节就在于解必须是正整数，即每一个盒子至少放一个球，那么对于限制2，我们要强制先选$a
阅读全文
摘要：原根以前没学懂，今天重新学了一下。 19.07.02update：忘了，又重新学了一下。 19.07.09update：耶我记住了。 定义 先引出阶的定义： 若$(a, n) = 1$，则满足$a^r \equiv 1 (mod \ \ n)$的最小整数$r$，称为$a$模$n$的阶。 首先$r$是
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 先看了一遍lucas，还是只能拿50分（~~似乎已经满足了~~）。 正解当然还是看某个大佬的啦。 我们要求的就是 $$f(n, k) = \sum _ {i = 0} ^ {k} C _ {n} ^ {i} \% p$$ 然后根据lucas定理，就开始~~愉快~~的推式子了…… $$ \
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 这不就是个bsgs板儿嘛。 顺便就复习了一下bsgs和哈希表。 头一次觉得我的博客这么好用，一下就懂了： "数论学习笔记之高次不定方程" 这里再补充几点： 1.关于这一段代码： c++ int S = sqrt(c), p = 1; for(int i = 0; i include in
阅读全文
摘要：嘟嘟嘟 九条可怜竟然有这种良心题，似乎稍稍刷新了我对九条可怜的认识。 首先假设我们求出了所有必须要筛出来的数m，那么$t(p)$就只受最后一个数的位置影响。 所以我们枚举最后一个数的位置，然后用组合数搞一下就完事了。 令$dp[i]$表示最后一个数在位置$i$时，$t(p)$的和，则 \(dp[i]
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 首先问题可以转化一下，变成在$[ \lceil \frac{L}{k} \rceil, \lfloor \frac{R}{k} \rfloor]$中选取$n$个数，使这些数的gcd等于1. 以下的$L$和$R$都是除完$k$的。 但这样做的复杂度是$O(R)$的，过不了。 这时候考虑到一
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 今天复习一下excrt，还算是没忘。 这道题，首先用set预处理一下，找到斩杀每条龙用哪把刀。 然后能列出方程$ATK_i x p_i y = a_i$。这显然是一个不定方程，用exgcd搞一下就行。然后我就想，怎么把所有解合并。假设一个特解是$x'$，那么通解就是$x = x' + k
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 这道题dp虽然不难，但是我还是没推出来，感觉最近脑子不太好用啊。 于是就跑去问神仙gjx（全国前三！）了。（外出集训真是好） 神仙不愧是神仙，一会儿就想出来了，而且方法还比网上的题解好懂。 dp[i][j]表示用值域为[1, i]的数，凑出的所有合法序列的值的和。 然后规定序列必须是严格
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 题面挺迷的，拿第一个样例说一下： 放第一次亵渎，对答案产生了$\sum_{i = 1} ^ {10} i ^ {m + 1} 5 ^ {m + 1}$的贡献，第二次亵渎产生了$\sum_{i = 1} ^ {5} i ^ {m + 1}$的贡献。 反正我们的主要目标就是求$f(n) =
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 本来以为拉格朗日插值是一个很复杂的东西，今天学了一下才知道就是一个公式…… 我们都知道$n$个点$(x_i, y_i)$可以确定唯一一个最高次为$n 1$的多项式，那么现在我们已知这$n$个点，求这个多项式代入$k$时的值。 首先都能想到用高斯消元$O(n ^3)$求出多项式，然后代入$
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 这题我读了两遍才懂，然后感觉要解什么高次同余方程……然后我又仔细的看了看题，发现只要求得$p$和$q$就能求出$r$，继而用exgcd求出$d$，最后用快速幂求出$n$。 再看看这个数据范围，用Pollard Rho最适合不过了。
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 从标题中能看出来，我只是想贴一个代码。 先扯一会儿。 前几天模拟考到了这东西，今天有空就学了一下。 到网上找资料，发现前置技能是miller rabin筛法，于是我还得先学这么个东西。 学miller rabin的话不得不推荐这两篇文章： "大数质因解：浅谈Miller Rabin和Po
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 看到求区间的，一个很好的思路就是转换成前缀和相减。那么这道题就是二维前缀和。 容易列出 $$\sum _ {i = 1} ^ {n} \sum _{j = 1} ^ {m} [gcd(i, j) = k]$$ 然后就是套路的推导了，跟 "这道题" 一模一样，看我的题解吧 "[POI200
阅读全文
摘要：这题呀，其实除了最后筛积性函数的时候比较困难，剩下的都是套路…… 首先要想到的是所有满足条件的$\mu(gcd(i, j)) \neq 0$，然后就是暴推了。 首先得到的式子是这样的 $$ans = \sum x \mu(x) ^ 2 \sum _ {d = 1} ^ {\lfloor \frac{
阅读全文
摘要：多次询问，求 $$\sum _ {i = 1} ^ {n} \sum _{j = 1} ^ {m} lcm(i, j)$$ 题解写不动了……~~自己~~搞出来的和大佬们的都一样，就贴一发 "大佬的博客" 吧。 如果不会的话，可以先做这个弱化版的： "单次询问" 也附上一篇 "大佬的博客" 这里有几个
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 感觉这几道数论题都差不多，但这到明显是前几道的升级版。 推了一大顿只能得60分，不得不看题解。 各位看 "这老哥的题解" 吧 我就是推到他用$T$换掉$kd$之前，然后枚举$T$的。这个转换确实想不出来啊。 还有最后一句，最终的式子 $$\sum_{T = 1} ^ {n} \lfloo
阅读全文
摘要："嘟嘟嘟" 挺好的题 $$\begin{align } ans &= \sum_{i = 1} ^ {a} \sum_{j = 1} ^ {b} [gcd(i, j) = d] \\ &= \sum_{i = 1} ^ {\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j =
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号