三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
 
中文名:三角函数公式
外文名:Formulas of trigonometric functions
应用学科:数学、物理、地理、天文等
适用领域范围:几何,代数变换,数学、物理、地理、天文等

定义式


 锐角三角函数任意角三角函数
图形
直角三角形直角三角形
任意角三角函数任意角三角函数
正弦(sin)
余弦(cos)
正切(tan或tg)
余切(cot或ctg)
正割(sec)
余割(csc)
表格参考资料来源:现代汉语词典[1]  .

函数关系

倒数关系:①  ;②  ;③ 
商数关系:①  ;②  .
平方关系:①  ;②  ;③  .
 
常用角度三角函数 
sin30°=1/2            sin45°=√2/2       sin60°=√3/2
cos30°=√3/2         cos45°=√2/2        cos60°=1/2
tan30°=√3/3           tan45°=1           tan60°=√3
cot30°=√3              cot45°=1           cot60°=√3/3 
sin15°=(√6-√2)/4    sin75°=(√6+√2)/4     cos15°=(√6+√2)/4 
cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin(45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出)
sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半)  正
 

诱导公式

公式一:
设  为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
公式二:
设  为任意角,  与  的三角函数值之间的关系:
公式三:
任意角  与  的三角函数值之间的关系:
公式四:
  与  的三角函数值之间的关系:
公式五:
  与  的三角函数值之间的关系:
公式六:
  及  与  的三角函数值之间的关系:
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2]  .即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
  (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:
  
记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.
  
以诱导公式二为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二.
  以诱导公式四为例:
  
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式的应用:
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:
  
特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式
证明如图:负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同.
证明正切的和差角公式证明正切的和差角公式
证明正弦、余弦的和差角公式证明正弦、余弦的和差角公式
三角和公式

和差化积公式

口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.

积化和差公式

倍角公式

二倍角公式
三倍角公式
证明:
sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得:
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)]
cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)
tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a)
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式:  .
上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为:
所以
其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而
所以
n倍角的三角函数n倍角的三角函数

半角公式

(正负由  所在的象限决定)

万能公式

辅助角公式

 
证明:
由于  ,显然  ,且
故有:

其他公式

正弦定理

详见词条:正弦定理
在任意△ABC中,角ABC所对的边长分别为abc,三角形外接圆的半径为R.则有[3]  :
正弦定理变形可得:

余弦定理

见词条:余弦定理
余弦定理余弦定理
对于如图所示的边长为abc而相应角为αβγ的△ABC,有:
也可表示为:

降幂公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2
cos²α=[1+cos(2α)]/2
tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式

泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…
实用幂级数:
ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)(!!表示双阶乘)[4]
arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)
arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)
sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)
在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

傅里叶级数

傅里叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

 

出处:https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F

posted on 2018-03-01 17:11  jack_Meng  阅读(11579)  评论(0编辑  收藏  举报

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