一维随机变量及其概率分布

1. 随机变量的概念

顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量。随机变量的反面是“确定性变量”，即其值遵循某种严格的规律的变量，比如从北京到上海的距离。但是从绝对意义上讲，许多通常视为确定性变量的量，本质上都有随机性，只是由于随机性干扰不大，以至在所要求的精度之内，不妨把经作为确定性变量来处理。

根据随机变量其可能取的值的全体的性质，可以把随机变量分为2大类，一类是离散型随机变量，比如检验100件产品中的次品个数；一类是连续型随机变量，比如一个灯泡的寿命。但是连续型变量这个概念只是数学上的抽象，因为任何量都有单位，都只能在该单位下量到一定的精度，所以也一定是离散的，比如灯泡的寿命如果只精确到秒，那它的寿命也是可以离散表示的。

研究随机变量的根本原因是，我们需要研究一些事物身上表现出来的会变动的因子，这些因子的值随机而定，但可能存在某种规律（比如总是取到某些特殊的值），我们需要研究这些规律（比如分布规律），而对这些因子做预测。

2. 离散型随机变量的分布

我们研究随机变量，并不是只关心它能取到哪些值，往往也关心的是它取到某些值的频率如何，即取到该值的概率。这个特性，我们称之为分布。

定义2.1

设 $X$ 为离散型随机变量，其全部的可能值为 ${a_{1}, a_{2}, \dots}$ ，则

p i = P (X = a i), i = 1, 2, \dots

称为 $X$ 的概率函数。且有下面的性质：

p i ⩾ 0, p 1 + p 2 + \dots = 1

$X$ 的概率函数给出了：全部概率1是如何在其可能的值之间分配的，所以也把它称为随机变量 $X$ 的“概率分布”。因为离散型的随机变量的概率分布通常以一个表的形式给出，所以有时把它称为 $X$ 的分布表。

可 能 值 概 率 a 1 p 1 a 2 p 2 \dots \dots a i p i \dots \dots

定义2.2

设 $X$ 为一随机变量，则函数

P (X \leq x) = F (x), - \infty < x < \infty

称为 $X$ 的分布函数。

对离散型随机变量而言，概率函数与分布函数在下述意义下是等价的。

F (x) = P (X \leq x) = \sum {i : a i \leq x} p i

由 $p_{i}$ 求 $F (x)$ 是显然的，而由 $F (x)$ 求 $p_{i}$ ，只需注意：

F (i) = P (X \leq i) = P (X \leq i - 1) + P (X = i)

对于任何随机变量 $X$ ，其分布函数 $F (x)$ 具有下面的一般性质：

1） $F (x)$ 是单降非降的：当 $(x_{1} < x_{2})$ 时，有 $F (x_{1}) \leq F (x_{2})$ ；

2）当 $x \to \infty$ 时， $F (x) \to 1$ ；当 $x \to - \infty$ 时， $F (x) \to 0$ ；

研究分布函数的直接原因是可以根据分布函数求概率，另一个原因我觉得是针对于连续型随机变量，因为它研究取某个值的概率没有意义，所以更多的关心的一个范围，比哪灯光寿命1万小时-1.2万小时的可能性大小，像这样范围内的概率用分布函数更容易求得。

3. 几个常见的离散型分布

3.1. 二项分布

某事件 $A$ 在一次试验中发生的概率为 $p$ 。现在把这个试验独立重复 $n$ 次，以 $X$ 记 $A$ 在这 $n$ 次试验中发生的次数，则 $n$ 可能的取值为 $0, 1, \dots, n$ ，我们称随机变量 $X$ 服从二项分布，记为： $X \sim B (n, p)$ ，同时这种试验称为伯努利试验。

p i = b (i; n, p) = (n i) p i (1 - p) n - i, i = 0, 1, \dots, n

$X = k$ 表示 $n$ 次试验中，事件 $A$ 恰好发生了 $k$ 次，那么一共有 $(\binom{n}{k})$ 种途径，而且每种途径发生的概率都为 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ （加法公式）。

在研究连续型随机变量分布后，我们发现二项分布概率分布与高斯分布密度函数曲线一致。

3.2. 泊松分布

若随机变量 $X$ 可能的取值为 $0, 1, 2, \dots$ ，且概率分布为

P (X = i) = e - λ λ i / i!

则称 $X$ 服从泊松分布，记为 $X \sim P (λ)$ ，此处 $λ > 0$ 是一常数。

Poisson分布是用来描述稀有事件的概率的，比如：一定时间内红绿灯口发生事故的次数和总机接到电话的次数。

Poisson分布实际上是在 $n$ 很大， $p$ 很小时，二项分布的一个近似：

当 $p$ 很小时， $(1 - p) \sim e^{- p}$ [泰勒展开，取前2项]，所以 $(1 - p)^{n - k} \sim e^{- p (n - k)} \sim e^{- p n} = e^{- λ}$

当 $n$ 很大时， $b_{n, k} = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k!} p^{k} (1 - p)^{n - k} \approx \frac{n^{k} p^{k}}{k!} (1 - p)^{n - k} = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$

3.3. 超几何分布

设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取 $n$ 个，则其中含有的不合格品的个数 $X$ 服从超几何分布，记为 $X \sim h (n, N, M)$ ，超几何分布的概率分布列为：

P (X = k) = ( M k ) ( N - M n - k ) ( N n ), k = 0, 1, \dots, r

其中 $r = m i n {M, n}$ ，且 $M \leq N, n \leq N, n, N, M 均为正整数$

当 $n ≫ N$ 时，即抽取个数 $n$ 远小于产品总数N时，每次抽取后体中的不合格率 $p = M / N$ 改变甚微，所以不放回抽样，可以近似地看成回抽样，这里超几何分布可以用二项分布近似。

( M k ) ( N - M n - k ) ( N n ) ≅ (n k) p k (1 - p) n - k ， 其 中 p = M N

3.4. 几何分布

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，如果 $X$ 为事件 $A$ 首次出现时的试验次数，则 $X$ 可能取值为 $1, 2, \dots$ ，称 $X$ 服从几何分布，记为 $X \sim G e (p)$ ，其分布列为：

P (X = k) = (1 - p) k - 1 p, k = 1, 2, \dots

几何分布的无记忆性：设 $X \sim G e (p)$ ，则对任意正整数m与n有

P (X > m + n | X > m) = P (X > n)

上面这个公式表明在一系列的事件中，若前m次实验中事件A没有出现，则接下来的n次试验中A仍未出现的概率只与n有关，似乎忘记了前m次试验结果。

3.5. 负二项分布

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A发生的概率为 $p$ ，如果 $X$ 为事件 $A$ 第r次出现时的试验次数，则 $X$ 可能的取值为 $r, r + 1, \dots, r + m, \dots$ ，称 $X$ 服从负二项分布或巴斯卡分布，记为 $X \sim N b (r, p)$ ，概率分布为：

P (X = k) = (k - 1 r - 1) p r (1 - p) k - r, k = r, r + 1, \dots

4. 连续型随机变量分布

对于连续型变量的概率分布，不能用像离散型变量那种方法去描述。原因在于，这种变量的取值充满一个区间，无法一一排出。若指定一个值 $a$ ，则变量 $X$ 恰好是 $a$ 一丝不差，事实上不可能，即，对于连续型随机变量 $X$ 而言，在区间内任意一点的概率 $P (X = x_{i}) = 0$ ，但是你要注意虽然概率为0，但是并不是说事件 $X = x_{i}$ 是不可能事件。

刻画连续型随机变量的概率分布的一个方法是利用概率分布函数，但是在理论和实用上更方便因则更常用的方法，是使用所谓“概率密度函数”或简称密度函数。

定义4.1

设连续性随机变量X有概率分布函数 $F (x)$ ，则 $F (x)$ 的层数 $f (x) = F^{'} (x)$ ,称为X的概率密度函数。

连续型随机变量 $X$ 的密度函数 $f (x)$ 都具有以下三条基本性质：

1） $f (x) \geq 0$

2） $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$

3）对任何常数 $a < b$ 有 $P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} (x) d x$

4.1. 正态分布

由中心极限定理可知：

一个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么这个变量一定是正态变量。因此很多随机变量可以用正态分布描述或近似描述，譬如测量误差、产品重量、人的身高、年降雨量等。

若随机变量 $X$ 的密度函数为

$p (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}, - \infty < x < + \infty$

称 $X$ 服从正态分布或高斯分布。

当 $μ = 1, σ^{2} = 1$ 时，上面的概率密度函数变为

f (x) = e - x 2 / 2 / 2 π - - \sqrt

它是正态分布 $N (0, 1)$ 的密度函数。同时被称为标准正态分布，其密度函数与分布函数通常分别被记为 $φ (x)$ 和 $Φ (x)$ 。标准正态分布很重要，因为任意的正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的计算很容易转化为标准正态分布 $N (0, 1)$ 。

若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $Y = (X - μ) / σ \sim N (0, 1)$

4.2. 均匀分布

若随机变量 $X$ 的密度函数为

p (x) = {1 b - a, 0, a < x < b; 其 他 。

则称 $X$ 服从区间 $(a, b)$ 上的均匀分布，记作 $X \sim U (a, b)$

4.3. 指数分布

若随机变量 $X$ 的密度函数为

p (x) = {λ e - λ x, 0, x \geq 0; x < 0 。

则称 $X$ 服从指数分布，记作 $X \sim E x p (λ)$

下图显示了指数分布当 $λ = 1$ （虚线）和 $λ = 2$ （实线）时的曲线图。 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续。

因为指数分布随机变量只可能取非负实数，所以指数分布被用作各种“寿命”分布，譬如电子元件的寿命，动物的寿命等。

P (x \leq X \leq x + h) | X > x) / h = λ, h \to 0

上式表明，如果元件在 $x$ 时尚表现正常，则的 $X > x$ 时间内失效率为一个常数 $λ$ ，也就是说元件在任意时刻突然失效的概率跟它使用了多久没有关系，只与失效率 $l a m b d a$ 有关。根据后面期望计算得到 $λ^{-} 1$ 就是平均寿命。

指数分布描述的是一种无老化的寿命分布，在实际中是不可能的，因而只是一种近似。对一种元器件在使用初期老化现象很小，所以在这个阶段指数分布描述了其寿命分布情况。而人在50或60岁之前，生理老化而死亡的因素是次要的。排除那些意外情况，人的寿命在这个阶段也是接近指数分布的。

4.4. 威布尔分布

指数分布在寿命问题上忽略了老化问题，如果我们需要考虑老化问题，则显然失效率真应该随时间而上升，不能为常数，比如取为一个 $x$ 的增函数： $λ x^{m}$ ，那假若分布函数为 $F (x)$ ，则有 $F^{'} (x) / [1 - F (x)] = λ x^{m}$ ，结合 $F (0) = 0$ ，得出：

F (x) = 1 - e - (λ / m + 1) x m + 1

取 $α = m + 1 (α > 1)$ ，并把 $λ / (m + 1)$ 记为 $λ$ ，得到：

F (x) = 1 - e - λ x α, x > 0

概率密度函数为：

f (x) = {λ α x α - 1 e - λ x α, 0, x > 0; x \leq 0 。

实际上指数分布是威布尔分布当 $α = 1$ 时的特例。

出处：http://www.cnblogs.com/ronny/p/3346568.html

posted on 2018-02-01 15:09 jack_Meng 阅读(2459) 评论(0) 编辑收藏举报

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一维随机变量及其概率分布

1. 随机变量的概念

2. 离散型随机变量的分布

定义2.1

定义2.2

3. 几个常见的离散型分布

3.1. 二项分布

3.2. 泊松分布

3.3. 超几何分布

3.4. 几何分布

3.5. 负二项分布

4. 连续型随机变量分布

定义4.1

4.1. 正态分布

4.2. 均匀分布

4.3. 指数分布

4.4. 威布尔分布

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