从初中到大学数学知识库

第一部 初中数学

第一篇 数与式

• 有理数
• 整式的加减
• 一元一次方程
• 一元二次方程
• 二元一次方程
• 不等式与不等式组
• 分式
• 整式乘法与因式分解
• 一次函数
• 反比例函数
• 二次函数
• 二次根式
• 实数运算
• 数据收集整理与描述
• 数据分析
• 概率初步
• 无理数

第二篇 几何图形与证明

• 三角形的定义
• 内心、外心、重心和垂心
• 勾股定理
• 正弦与余弦
• 正切与余切
• 正弦定理与余弦定理
• 全等三角形
• 轴对称
• 相似
• 图像投影
• 平行四边形
• 旋转
• 正割与余割

第二部 高中数学

第一篇 函数与整式

• 集合定义
• 集合的运算
• 集合趣谈
• 充要条件
• 角度和弧度
• 三角函数图形
• 三角变换恒等式
• 复数的引入
• 复数定义和分类
• 复数几何意义
• 复数加减乘除
• 等差数列
• 等比数列
• 平面向量
• 向量的加减
• 向量坐标表示法
• 向量乘除
• 排列组合
• 排列插板法
• 二次项定理
• 排列与组合进阶篇
• 二项式反演
• 抽屉原理

第二篇 解析几何与立体几何

• 倾斜角
• 斜率
• 椭圆（高中）
• 椭圆（漫谈）
• 双曲线

第三部 大学微积分

第一章 函数、连续与极限

• 集合的概念
• 区间
• 邻域
• 基本初等函数
• 几类特殊的函数
• 复合函数
• 数列极限的概念
• 数列极限的定义
• 数列极限的计算
• 自变量趋于无穷大时的极限
• 自变量趋于有限值时的极限
• 函数极限的计算方法
• 利用极限定义证明
• 数列极限的性质
• 夹逼准则
• 第一重要极限 sinx/x
• 单调有界收敛准则
• 第二重要极限 (1+1/x)^x
• 无穷小
• 无穷大
• 无穷小与无穷大的关系
• 无穷小的比较
• 等价无穷小的应用
• 函数连续性
• 区间上的连续函数
• 函数的间断点
• 初等函数的连续性
• 最大值和最小值定理
• 零点定理与介值定理
• 常见等价无穷小
• 调和级数

第二章 一元函数微分学及其应用

• 引子
• 割线与切线
• 导数的定义
• 左右导数
• 切线与法线方程
• 函数的可导性与连续性的关系
• 函数和差积商的求导法则
• 反函数的求导法则
• 求导公式
• 复合函数求导法则
• 高阶导数
• 二阶导数的物理意义
• n阶导数的计算
• 隐函数的导数
• 由参数方程确定的函数的导数
• 相关变化率
• 微分的定义
• 基本初等函数的微分公式及微分法则
• 微分的几何意义
• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理
• 洛必达法则
• 泰勒公式
• 麦克劳林公式
• 函数单调性的判别
• 函数的极值及其求法
• 曲线的凹凸性与拐点
• 曲线的渐近线
• 函数图形的描绘
• 函数的最大值与最小值
• 极值举例
• 弧微分的概念
• 曲率及其计算公式
• 曲率的计算方法

第三章 一元函数积分

• 原函数
• 不定积分
• 基本积分公式
• 不定积分的性质
• 第一类换元法(凑微分法)
• 第二类换元积分法
• 分部积分法
• 有理函数的不定积分
• 三角函数的有理式
• 定积分的概念
• 定积分的几何意义
• 定积分的性质
• 积分上限函数
• 定积分举例
• 定积分的换元法
• 定积分的分部法
• 平面图形的面积
• 空间立体的体积
• 曲线的弧长
• 定积分在物理上的应用举例
• 无限区间上的反常积分
• 瑕积分

第四章 微分方程

• 引子
• 微分方程
• 可分离变量的微分方程
• 齐次方程
• 一阶线性微分方程
• 可降阶的微分方程
• 线性微分方程解的结构
• 二阶常系数齐次线性方程的解法
• n阶常系数齐次线性微分方程的解法
• 二阶常系数非齐次常系数线性微分方程
• 微分方程的实际案例
• 二阶微分方程的实际案例

第五章 向量与空间解析几何

• 空间直角坐标系
• 向量的运算
• 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
• 向量的模与方向角
• 数量积
• 向量积
• 向量的混合积
• 平面的点法式方程
• 平面的一般方程
• 平面与平面、点与平面的关系
• 空间直线一般方程
• 对称式方程及参数方程
• 新知识
• 直线与平面的夹角
• 平面束
• 曲面方程的概念
• 旋转曲面
• 柱面
• 新知识
• 椭球面
• 二次锥面
• 抛物面
• 空间曲线及其方程
• 空间曲线的参数方程
• 空间曲线在坐标面上的投影

第六章 多元函数微分学

• 领域的概念
• 区域的概念
• 二元函数的概念
• 二元函数的极限
• 二元函数的连续性
• 偏导数
• 偏导数的几何意义
• 高阶偏导数
• 全微分
• 全微分的计算
• 多元函数复合求导
• 复合函数的中间变量为多元函数的情形
• 全微分形式的不变性
• 隐函数的求导公式
• 方程组情形
• 方向导数与梯度
• 梯度
• 数量场与向量场简介
• 空间曲线的切线和法平面
• 一元向量值函数及其导数
• 空间曲面的切平面与法线方程
• 多元函数的极值
• 二元函数极值的概念
• 二元函数的最大值与最小值
• 条件极值与拉格朗日乘数法

第七章 多元函数积分学

• 二重积分的概念和性质
• 二重积分的概念
• 二重积分的性质
• 直角坐标系下二重积分的计算
• X型区域上的二重积分
• Y型区域上的二重积分
• 极坐标系下二重积分的计算
• 二重积分换元法
• 曲面的面积
• 质量与质心
• 三重积分的概念
• 利用直角坐标计算三重积分
• 利用柱面坐标计算三重积分
• 空间立体的体积
• 三重积分在物理中的应用
• 第一类曲线积分
• 对弧长曲线积分的计算方法
• 曲线积分在物理上应用
• 第二类曲线积分
• 对坐标的曲线积分计算方法
• 两类曲线积分的关系
• 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）
• 对面积曲面积分的概念与性质
• 对面积曲面积分的物理应用
• 对坐标的曲面积分（第二类的曲面积分）
• 对坐标的曲面积分的概念和性质
• 对坐标的曲面积分的计算法
• 对坐标的曲面积分例子
• 两类曲面积分之间的关系
• 单连通区域及其正向边界
• 格林公式
• 格林公式举例
• 上曲线积分与路径无关的等价条件
• 高斯公式
• 通量与散度
• 斯托克斯公式、环流量与旋度

第八章 无穷级数

• 常数项级数的概念
• 收敛级数的基本性质
• 正项级数及其审敛性
• 正项级数推论
• 正项级数审敛性举例
• 交错级数的及其审敛性
• 绝对收敛和条件收敛
• 函数项级数的概念
• 幂级数及其收敛性
• 幂级数的收敛域
• 幂级数收敛举例
• 幂级数的运算与和函数
• 新知识
• 函数展开成幂级数举例
• 周期为2π的函数的傅里叶级数
• 三角函数系
• 函数展开成傅里叶级数
• 正弦级数与余弦级数
• 一般周期函数的傅里叶级数

第四部 大学线性代数

第一篇 矩阵

• 矩阵的定义
• 矩阵的加减
• 矩阵的乘法
• 矩阵的转置
• 分块矩阵的概念
• 分块矩阵的线性运算
• 矩阵的初等变换
• 求解线性方程组
• 方阵的逆矩阵
• 初等矩阵
• 初等矩阵与逆矩阵的应用

第二篇 方阵的行列式

• 排列及其逆序数
• n 阶行列式
• 上三角方阵与下三角方阵
• 行列式的性质
• 方阵可逆的充要条件
• 余子式与代数余子式
• 行列式按行展开
• 范德蒙德行列式
• 伴随矩阵与矩阵的求逆公式
• 克莱默法则

第三篇 向量空间与线性方程组解

• 向量的概念及运算
• 向量组及其线性组合
• 向量组的等价
• 向量组的线性相关与线性无关
• 向量组线性相关性的一些重要结论
• 向量组秩的概念
• 矩阵的秩
• 矩阵秩的求法
• 向量组的秩与矩阵的秩的关系
• 线性方程组有解的判定定理
• 齐次线性方程组解的结构
• 非齐次线性方程组解的结构
• 向量空间及其子空间
• 向量空间的基、维数与坐标
• 基变换与坐标变换

第四篇 相似矩阵及二次型

• 向量的内积、长度
• 正交向量组
• 施密特正交化过程
• 正交矩阵
• 方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
• 方阵的特征值与特征向量的性质
• 方阵相似的定义与性质
• 方阵的相似对角化
• 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
• 二次型及其标准形的定义
• 用正交变换化二次型为标准形
• 用配方法化二次型为标准形
• 惯性定理
• 正定二次型与正定阵

第五篇 线性空间与线性变换

• 线性空间的定义
• 线性空间的性质
• 线性空间的子空间
• 线性空间的基、维数与坐标
• 基变换与坐标变换
• 线性变换的定义
• 线性变换的性质
• 线性变换的矩阵表示式

第五部 概率论与数理统计

第一篇 随机事件与概率

• 随机试验
• 随机试验
• 随机事件之间的关系与运算
• 概率的定义及其性质
• 古典概率模型
• 几何概率模型
• 条件概率公式
• 事件的相互独立性
• 全概率公式与贝叶斯公式

第二篇 随机变量及其分布

• 随机变量的定义
• 随机变量的分布函数
• 新知识
• 新知识
• 二项分布
• 泊松分布
• 超几何分布
• 几何分布与负二项分布
• 新知识
• 指数分布
• 正态分布
• 标准正态分布
• 离散型随机变量函数的分布
• 连续型随机变量函数的分布

第三篇 多维随机变量及其分布

• 随机试验
• 联合分布函数
• 二维离散型随机变量及其联合分布律
• 二维连续型随机变量及其联合密度函数
• 二维均匀分布
• 二维正态分布
• 边缘分布函数
• 二维离散型随机变量的边缘分布律
• 二维连续型随机变量的边缘密度函数
• 随机变量的相互独立性
• 二维离散型随机变量的条件分布律
• 二维离散型随机变量函数的分布

第四篇 随机变量的数字特征

• 数学期望的定义
• 随机变量函数的数学期望
• 数学期望的性质
• 方差和标准差的定义
• 方差的性质
• 新知识
• 相关系数
• 新知识
• 变异系数
• 分位数和中位数

第五篇 大数定理

• 切比雪夫不等式
• 依概率收敛
• 大数定律
• 中心极限定理

第六篇 统计量和抽样分布

• 总体
• 样本
• 新知识
• 样本均值和样本方差
• 次序统计量
• x方分布
• t分布
• f分布
• 正态总体的抽样分布

第七篇 参数估计

• 矩估计
• 极大似然估计
• 无偏性
• 新知识
• 相合性
• 置信区间
• 均值的置信区间
• 方差的置信区间
• 均值差的置信区间
• 方差比的置信区间

第八篇 假设检验

• 检验的基本原理
• 单正态总体均值的假设检验
• 单正态总体方差的假设检验
• 两个正态总体均值差的假设检验
• 两个正态总体方差比的假设检验
• 拟合优度检验

 

 

出处：https://kmath.cn/math/Kb_List.aspx