浮点数(单精度浮点数与双精度浮点数)在计算机中的存储
浮点数(单精度浮点数与双精度浮点数)在计算机中的存储
十进制浮点数格式：
浮点数格式使用科学计数法表示实数。科学计数法把数字表示为系数(coefficient)(也称为尾数(mantissa))，和指数 (exponent)两部分。比如 3.684*10^2. 在十进制中，指数的基数为 10，并且表示小数点移动多少位以生成系数。每次小数点向前移动时，指数就递增；每次小数点向后移动时，指数就递减。例如，25.92 可表示为 2.592 * 10^1，其中 2.592 是系数，值 10^1 是指数。必须把系数和指数相乘，才能得到原始的实数。另外，如 0.00172 可表示为 1.72*10^-3，数字 1.72 必须和 10^-3 相乘才能获得原始值。
二进制浮点格式：浮点数格式使用科学计数法表示实数。科学计数法把数字表示为系数(coefficient)(也称为尾数(mantissa))，和指数 (exponent)两部分。比如 3.684*10^2. 在十进制中，指数的基数为 10，并且表示小数点移动多少位以生成系数。每次小数点向前移动时，指数就递增；每次小数点向后移动时，指数就递减。例如，25.92 可表示为 2.592 * 10^1，其中 2.592 是系数，值 10^1 是指数。必须把系数和指数相乘，才能得到原始的实数。另外，如 0.00172 可表示为 1.72*10^-3，数字 1.72 必须和 10^-3 相乘才能获得原始值。
计算机系统使用二进制浮点数，这种格式使用二进制科学计数法的格式表示数值。数字按照二进制格式表示，那么系数和指数都是基于二进制的，而不是十进制，例如 1.0101*2^2.
在十进制里，像 0.159 这样的值，表示的是 0 + (1/10) + (5/100) +
(9/1000)。相同的原则也适用二进制。比如，1.0101 乘以 2^2 后，生成二进制值 101.01 ，这个值表示二进制整数 5，加上分数
(0/2) + (1/4) 。这生成十进制值 5.25 。下表列出几个二进制小数以及它们对应的十进制值：
| 二进制 |
十进制分数 |
十进制值 |
| 0.1 |
1/2 |
0.5 |
| 0.01 |
1/4 |
0.25 |
| 0.001 |
1/8 |
0.125 |
| 0.0001 |
1/16 |
0.0625 |
| 0.00001 |
1/32 |
0.03125 |
| 0.000001 |
1/64 |
0.015625 |
几个二进制浮点例子：
| 二进制 |
十进制分数 |
十进制值 |
| 10.101 |
2+1/2+1/8 |
2.625 |
| 10011.001 |
19+1/8 |
19.125 |
| 10110.1101 |
22+1/2+1/4+1/16 |
22.8125 |
| 1101.011 |
13+1/4+1/8 |
13.375 |
浮点数的存储
IEEE 标准754 浮点数标准使用 3 个成分把实数定义为二进制浮点值：
有效数字部分表示浮点数的系数(coefficient)(或者说尾数(mantissa))。系数可以是规格化的(normalized)，也可以是非规格化的(denormalized)。所谓规格化，就是任何一个数的科学计数法的表示都可为1.xxx*2^n，既然小数点左边的一位都是1，就可以把这一位省略。单精度浮点数23bit的尾数部分，可表示的精度却为24位，道理就在这里。
指数表示浮点数的指数部分，是一个无符号整数。因为指数值可以是正值，也可以是负值，所以通过一个偏差值对它进行置偏，及指
- 符号
- 有效数字
- 指数
有效数字部分表示浮点数的系数(coefficient)(或者说尾数(mantissa))。系数可以是规格化的(normalized)，也可以是非规格化的(denormalized)。所谓规格化，就是任何一个数的科学计数法的表示都可为1.xxx*2^n，既然小数点左边的一位都是1，就可以把这一位省略。单精度浮点数23bit的尾数部分，可表示的精度却为24位，道理就在这里。
指数表示浮点数的指数部分，是一个无符号整数。因为指数值可以是正值，也可以是负值，所以通过一个偏差值对它进行置偏，及指
数的真实值=指数部分的整数— 偏差值。对于32位浮点数，偏差值=127；对于64位浮点数，偏差值=1023.
。
浮点数的这 3 个部分被包含在固定长度的数据格式之内。IEEE 标准754 定义了浮点数的两种长度： 32位单精度 和 64位双精度
可以用于表示有效数字的位的数量决定精度。下图显示了两种不同精度类型的位布局：
单 精度浮点使用 23 位有效数字值。但是，浮点格式假设有效数字的整数部分永远为 1 ，并且不在有效数字值中使用它。这样实际上有效数字的精度达到了 24 位。指数使用 8 位值，它的范围从 0~255，称为移码指数，意思是必须从指数中减去一个数(称为偏移量或者是偏差值)，对单精度浮点数而言，这个值是 127 。当指数是0和255时，指数由别的含义，因此实际指数的范围是从 -126 到 +127 (二进制指数)，这样整个浮点数的范围则为：(1.18 * 10^-38～1.0×2……-126 到 3.40 * 10^38～1.1……1×2^127)。
浮点数的这 3 个部分被包含在固定长度的数据格式之内。IEEE 标准754 定义了浮点数的两种长度： 32位单精度 和 64位双精度
可以用于表示有效数字的位的数量决定精度。下图显示了两种不同精度类型的位布局：
单 精度浮点使用 23 位有效数字值。但是，浮点格式假设有效数字的整数部分永远为 1 ，并且不在有效数字值中使用它。这样实际上有效数字的精度达到了 24 位。指数使用 8 位值，它的范围从 0~255，称为移码指数，意思是必须从指数中减去一个数(称为偏移量或者是偏差值)，对单精度浮点数而言，这个值是 127 。当指数是0和255时，指数由别的含义，因此实际指数的范围是从 -126 到 +127 (二进制指数)，这样整个浮点数的范围则为：(1.18 * 10^-38～1.0×2……-126 到 3.40 * 10^38～1.1……1×2^127)。
指数0和255用于特殊用途。如果指数从1变化到254，则由s（符号位）、e（指数）和f（有效数）来表示的数为：
-1的 s 次幂是数学上的一种方法，意思是“如果 s 为0，则数是正的（因为任何数的 0 次幂等于 1 ）；如果 s 为 1，则数是负的（因为 -1的 1 次幂为 -1）”。
表达式的另一部分是1.f，意思是1后面为二进制小数点，再后面为23位的有效小数部分。它乘以2的幂，其中指数为内存中的8位移码指数减去127。
注意，还有一种特殊的情况 0 ：
A ：在单精度浮点格式中可以表示的最大规格化的正或负二进制数为：
换算成 10 进制约等于：3.402823669e+38，这里 1.111...111 近似为 2，则 2 * 2^127 = 2^128 = 3.402823669e+38 .
Q：1.18 * 10^-38 的值是怎么来的?
A：通常，单精度浮点格式中可以表示的最小规格化的正或负二进制数为：
换算成 10 进制就是：1.175494351e-38，也就是约等于 1.18 * 10^-38 。
Q：单精度浮点24位换算为十进制后，为什么精度是 7 位?
A：10位二进制数近似等于3位十进制数。也就是说，若10位都置1(即十六进制为3FFh，十进制为1023)，则它近似等于3位十进制都设置为9，即999。或者:
这种关系表明按单精度浮点格式存放的24位二进制数大约与7位十进制数等效。因此，也可以说单精度浮点格式提供24位二进制精度，或大约7位十进制精度。可 以这么设，一个 2 相当于 10^k 次方，即 10^k=2。那么 2 的 24 次方 2^24 = 10^24k 。从 10^k=2 可以知道 k = log10(2)～0.301。所以，2 的 24 次方换算到十进制，相当于有 24*log10(2)约等于 7.2 个精度 。
Q：262144.00 和 262144.01 是一样的么?
A：当然不是一样的！但是在计算机里，单精度的存储中，它们却是一样的！看这两个数作为单精度浮点数时在计算机里是怎么存储的：
-1的 s 次幂是数学上的一种方法，意思是“如果 s 为0，则数是正的（因为任何数的 0 次幂等于 1 ）；如果 s 为 1，则数是负的（因为 -1的 1 次幂为 -1）”。
表达式的另一部分是1.f，意思是1后面为二进制小数点，再后面为23位的有效小数部分。它乘以2的幂，其中指数为内存中的8位移码指数减去127。
注意，还有一种特殊的情况 0 ：
- 如果 e 等于 0，且 f 等于 0，则数为 0。通常，所有32位均为 0 则表示 0。但是符号位可以是 1，在这种情况下，数被解释为-0。-0 可以表示一个很小的数，小到在单精度格式中不能用数字和指数来表示。尽管如此，它们然小于 0。
- 如果 e 等于 0，且 f 不等于0，则数是有效的。但是，它不是规格化的数，它等于
注意，二进制小数点左边的有效数为0。
- 如果e等于255，且f等于0，则数为正或负无穷大，这取决于符号s。
- 如果e等于255，且f不等于0，该值被认为“不是一个数”，简写为NaN。NaN可以表示一个不知道的数或者一个无效操作的结果。
A ：在单精度浮点格式中可以表示的最大规格化的正或负二进制数为：
换算成 10 进制约等于：3.402823669e+38，这里 1.111...111 近似为 2，则 2 * 2^127 = 2^128 = 3.402823669e+38 .
Q：1.18 * 10^-38 的值是怎么来的?
A：通常，单精度浮点格式中可以表示的最小规格化的正或负二进制数为：
换算成 10 进制就是：1.175494351e-38，也就是约等于 1.18 * 10^-38 。
Q：单精度浮点24位换算为十进制后，为什么精度是 7 位?
A：10位二进制数近似等于3位十进制数。也就是说，若10位都置1(即十六进制为3FFh，十进制为1023)，则它近似等于3位十进制都设置为9，即999。或者:
这种关系表明按单精度浮点格式存放的24位二进制数大约与7位十进制数等效。因此，也可以说单精度浮点格式提供24位二进制精度，或大约7位十进制精度。可 以这么设，一个 2 相当于 10^k 次方，即 10^k=2。那么 2 的 24 次方 2^24 = 10^24k 。从 10^k=2 可以知道 k = log10(2)～0.301。所以，2 的 24 次方换算到十进制，相当于有 24*log10(2)约等于 7.2 个精度 。
Q：262144.00 和 262144.01 是一样的么?
A：当然不是一样的！但是在计算机里，单精度的存储中，它们却是一样的！看这两个数作为单精度浮点数时在计算机里是怎么存储的：
两者被存储为同一个数字：。 那这是为什么呢？原因是，规格化单精度浮点里，在小数点后有 23 位数，而 1.000...000 会经过 2^18 次方的运算后小数点会往前移动 18 个，那么小数点后面就只剩下 5 位，这时即使是 1/(2^5)=0.03125 都要比 0.01大，所以没办法，只能存为一样的数。
那么上面的问题如何避免呢？
答案是，使用双精度浮点数。
双精度浮点数的指数偏移量为1023，即3FFh，所以，以这种格式存放的数为：
它具有与单精度格式中所提到适用于0、无穷大和NaN等情形相同的规则。
最小的双精度浮点格式的正数或负数为:
最大的数为:
用十进制表示，它的范围近似为
。10的308次幂是一个非常大的数，在1后面有308个十进制零。53 位有效数（包括没有包含在内的那1位）的精度与16个十进制位表示的精度十分接近。相对于单精度浮点数来说这种表示要好多了，但它仍然意味着最终还是有一 些数与另一些数是相等的。例如，140737488355328.00与140737488355328.01是相同的，这两个数按照64位双精度浮点格 式存储，结果都是：42E0000000000000h
可把它转换为：
由上面可以看到，在双精度的浮点下，整数部分+小数部分的位数一共有 17 位。
