排列组合

排列

\(n\) 个不同元素 任取 \(m\) 个 有序

\[A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!} \]

全排列

不全相异元素全排列

在 \(n\) 个元素中，有 \(n_1\) 个元素彼此相同，又有 \(n_2\) 个元素彼此相同... 又有 \(n_m\) 个元素彼此相同（ \(\sum\limits_{i=1}^mn_i=n\) ）

\[\frac{n!}{n_1!n_2!\ldots n_m!} \]

相异元素可重复全排列

n个位置，每个位置上有m种选择

\[n^m \]

选排列

n的降r阶乘

\[n！(n-r)! \]

全错位排列

设有一串数1到n，对应位置1到N，设n排在了第K位（\(1\le K<N\) ) ，考虑第N位的情况

• 当k排在第N位时，除了n和k外还有n-2个数，n-2个数的错排 \(f_{n-2}\)
• 当k不排在第N位时，因为n已经确定位置了，所以剩下n-1个数错排 \(f_{n-1}\)

n放在K位置上有n-1种选法，所以

\[f_n=(n-1)(f_{n-1}+f_{n-2}) \]

圆排列

n个相异元素的循环全排列

若旋转可得的两种情况则视为一种情况，因为没有首尾之分所以为 \(n!/n\)

\[(n-1)! \]

n个相异元素里每次取出m个元素的循环排列

从n个相异元素里选出m个元素的直线排列种数为 \(A^m_n=C^m_n·m!\) ，等式的右边为先按组合选出m个元素，再将这m个元素全排列，因为没有首尾之分所以除以m

\[x=C^m_n(n-1)!=\frac{A^m_n}{m} \]

若不计顺、逆时针方向，再除以2就行了

组合

\(n\) 个不同元素 任取 \(m\) 个 无序

\[\displaystyle C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

也记做 \(\displaystyle\binom{n}{m}\) 读作 「 \(n\) 选 \(m\) 」

规定 \(\displaystyle\binom{n}{0} = 1\)

性质

1. \(\displaystyle\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)
2. \(\displaystyle\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\)
3. \(\displaystyle\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n\)

证明

1.2.略 3.每个数都有选或不选两种可能 自证不难 QED

重复组合

从n个不同元素中，每次取出r个可以重复的元素并成一组，记做 \(H^r_n\)

\[H^r_n=C^r_{n+r-1}=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} \]

证明

求组合数

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^ka^kb^k \]

自证不难

证明

数学归纳法 利用 \(\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}\) 做归纳

显然 \(n=1\) 时是成立的

假设 \(n=m\) 时命题成立 当 \(n=m+1\) 时

\[(a+b)^{m+1}=(a+b)(a+b)^m\\=(a+b)\sum\limits_{k=0}^mC^k_ma^kb^{m-k}\\=\sum\limits_{k=0}^mC_m^ka^{k+1}b^{m-k}+\sum\limits_{k=0}^mC_m^ka^{k}b^{m-k+1}\\=\sum\limits_{k=1}^{m+1}C_m^{k-1}a^{k}b^{m-k+1}+\sum\limits_{k=0}^mC_m^ka^{k}b^{m-k+1}\\=\sum\limits_{k=0}^{m+1}(C_m^k+C_m^{k-1})a^{k}b^{m-k+1}\\=\sum\limits_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{k}b^{m+1-k} \]

QED