ABC270Ex

给定 \(0=a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n\leq 10^{18}\)，\(a_n>0\)。初始有 \(n\) 个均为 \(0\) 的计数器 \(c_{1\cdots n}\)，每次操作均匀随机一个 \(1\leq i\leq n\)，然后令 \(c_i=0\)，并把其它 \(c\) 都加一。不断执行操作直到对于每个 \(i\) 都满足 \(c_i\ge a_i\)，求期望操作次数，\(\bmod 998244353\)。

\(2\leq n\leq 2\times 10^5\)。

终止条件显然等价于对于每个 \(i\)，距离上一次操作 \(i\) 已经再进行了至少 \(a_i\) 次操作。于是可以转化为有一个变量 \(x\)，意义为当前最大的 \(a_i-c_i\)，初始值为 \(a_n\)，则操作等价于每次随机一个 \(i\)，令 \(x\gets \max\{x-1,a_i\}\)，直到 \(x=0\)。

暴力地，记 \(f_i\) 表示 \(x\) 从 \(i\) 到 \(i-1\) 的期望操作次数，则 \(f_i=1+\frac{1}{n}(\sum_{a_k\ge i} f_{i\sim a_k})\)，额外统计 \(a_k=i\) 的个数并移项除回去即可。

发现 \(i\in(a_{k-1},a_{k}]\) 里的转移是类似的，另设 \(F_k\) 表示 \(x\) 从 \(a_k\) 到 \(a_{k-1}\) 的期望操作次数，转移仍然先考虑一格一格地进行：\(x\in(a_{k-1},a_{k}]\)，假设 \(a_{j\sim i}\) 的值都相等，一起转移它们的 \(F_k\)，令 \(f_i\) 为初始为 \(a_k\)，到达 \(i\) 的期望操作次数，则：

\[f_x=f_{x+1}+1+\frac{1}{n}\left((n-j+1)\sum f_{x}+\sum_{a_k>a_i}{F_{i+1\sim k}}\right) \]

默认转移这一段时 \(f_{a_k+1}=0\)，转移完成后更新 \(F\)。

\(f\) 的单步转移容易写成 \(X\gets A\times X+B\) 的形式，找到通项之后快速幂，类似同一场的 G。

\(O(n\log V)\)。