题解 P5008 [yLOI2018] 锦鲤抄

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题意：\(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，带点权，每次可以选择一个有入度的点连同它的出边一起删除，并得到它的点权。可以重复这个过程至多 \(k\) 次，求最终得到的最大权值和。

先考虑在更为简单的 DAG 图上进行操作。

很明显，我们只要像拓扑排序一样，任选一些入度不为 0 的点，然后按拓扑序从后往前选择，就可以满足题意。

所以在 DAG 上，我们只需要选 \(k\) 个入度不为 0 的 权值最大的点，就可以做到了。

于是考虑怎么把原问题转换为在 DAG 上的问题。

对于有向图很自然的一个想法就是用强连通分量缩点。

如果一个强连通分量有入度，那显然这个分量里的任意一个点都可以选。

考虑一个没有入度的强连通分量如下图。

对于 (1→2→3→4→5→1) 这个强连通分量，不管按什么顺序选择，最后总会剩下一个点不能被选。

显然这个点的权值最小的时候答案最优。

于是我们就对于每一个入度为 0 的强连通分量寻找其中一个权值最小的点，然后剩下的点就可以任意选择了。

sort 就完事了。

不知道为啥我 sort 比 nth_element 慢不了多少甚至还要快一点...

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