P6765 [APIO2020]交换城市
纪念一下过的第一道交互类型的题目。
题意：\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，\(q\) 组询问 \((x,y)\) ，问从 \(x,y\) 分别走到对方，让路径上边权的最大值最小，要求两条路径不完全重合。
各个子任务真的都多少指向了正解吧。。
\(Q\leq 5\) 的部分让我们想到了 \(\mathcal O(Qnlogn)\) 的二分答案。
想这个 \(Subtask\) 的时候需要思考一些实现细节，比如简化一下题意，即二分出一个答案 \(k\) ，我们利用 Kruskal 的思想，把边权小于等于 \(k\) 的边都加进去，如果 \(x,y\) 连通，那么说明这个 \(k\) 允许我们有一条路径让 \(x\) 到达 \(y\) 。
问题是我们需要两条不完全重合的路径，于是 \(M=N-1\) （树）的部分是两点之间路径唯一，那我们只能让一个点走出这条路径一步，等另一边走到了终点再走过去。特殊的，如果从起点只有一条路退出去是不行的，否则另一边走到了自己的位置之后就走不回去了。
停下来观察一下，我们需要路径上任意一点的度数大于2，这样即使是在初始 \(x\) 就退一步到 \(z_1\)，\(y\) 到达 \(x\) 的位置之后，还有一个空位 \(z_2\) 可以走过去停留，让 \(x\) 走过去，路径上的点同理。
于是不难想到，要两条不完全重合的路径，我们只需要让这条路径上的点有一个度数超过2的，这样我们就可以走出这条链，等待另一边过去之后再继续走。这个用简单的权值并查集可以实现。
考虑整体二分，但是会发现题目这个实现的要求迫使我强制在线，那么就想其他算法。
发现 Kruskal 的思路可以继续沿用，考虑 Kruskal 重构树。即做生成树时，如果一对 \((u,v)\) 成功连通两个连通块，那么改变原来把它们 merge 起来的做法，而是新建一个点 \(f\)，把 \(u,v\) 都在并查集上并到 f 上，然后在图上把 \(get(u),get(v)\) 连向父亲 \(f\)。这样做完生成树之后，就得到了一棵 Kruskal 重构树。
并且在这道题中，我们把对应的权值 \(w\) 作为点权赋值给父亲 \(f\)。这样的话如果只考虑一条路径的话，\(x,y\) 之间的答案就是 \(lca(x,y)\) 的点权。
因为当产生它们的 \(lca\) 的边加进去之后它们才连通，而边权又是从小到大加入的，于是到 \(lca\) 的点权就是最优的答案。
到这里已经很接近正解了。我们发现，\(lca\) 及其之上的点都可以满足让 \(x,y\) 连通，那么我们就从 \(lca\) 向上找到其最近的一个点使其满足有路径点数大于2。发现这个性质是可以合并的，即挨着加边进去的时候让 \(u,v\) 的度数加一，如果其中有大于2的，那么新合并出来的点就拥有这个性质。
于是我们就得到了某些点天然有这个性质，加完边之后 dfs 下去就可以传递最近的拥有性质的祖先结点了。
打出来发现会过不了样例，为什么呢？
考虑在加入边 \((u,v)\) 时它们已经连通，最简单的是形成了一个 \((a-b-c-a)\) 的环，图中每个点的度数都是2，但我们是可以让 \(a,b\) 分别走到对方的位置的，这种情况特判一下就好了。
