题解 P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树
给定一棵树上每个结点的权值 \(v_i\) ，定义 \(val_u\) 为 \(u\) 的子树（含 \(u\) ）内的结点 \(c_i\) 的 \(v_{c_i}+d(c_i,u)\) 的异或和。求 \(\sum\limits_{i=1}^nval(i)\) 。
首先很明显是从下往上递推，考虑怎么从儿子结点转移过来。
Part 1 传递答案
假设儿子 \(v\) 的答案 \(val_v=a_1\oplus a_2...\oplus a_k\) ，我们需要求 \(val_v'=(a_1+1)\oplus (a_2+1)...\oplus (a_k+1)\)的值。
因为是异或操作，想到使用 01Trie ，那么像常规 01Tire 一样记录每个结点被经过的次数 \(cnt_r\) 。
过程中统计一下对应的 01Trie 里每一层里 1 的个数，就可以得到这一个点的答案了。
而由于由 \(val_v\) 求 \(val_v'\) 相当于给 01Trie 里的每个元素都 +1 ，那就把原数从低位到高位加入 01Trie ，都 +1 的话显然是影响到了当前末尾是 1 的数，它们都变成了 0 ，所以我们 交换0/1儿子的编号，不去改变对应的 \(cnt\) 。
但是交换第一层的 01 儿子之后，想到后面如果有形如 "...11" 这样以若干个二进制 1 结尾的数，则还应该继续一路交换下去。注意交换之后也要修改一层内 1 的个数方便下一步计算。
显然要修改 \(\log\) 次，所以这个操作是 \(O(\log n)\) 的。
Part 2 统计答案
有了上面计算 \(val_v'\) 的方法，需要考虑的就是怎么统计父节点 \(u\) 的答案了。
先退一步想，可以暴力地对于每一个结点，都维护一棵 01Trie，每次把儿子的所有值 +1 插入，再把自己的 \(v_i\) 插入统计每一层 1 的个数计算答案。
考虑优化这个过程，上面讲到了如果儿子结点已经建好了 01Trie ，怎么快速地得到所有元素 +1 后的 01Trie。那么我们只需要 合并 起来儿子结点的 01Trie ，再插入该节点的 \(v_u\) ，就得到了它所对应的 01Trie。
考虑像线段树合并一样，合并两棵 01Trie ，只需要沿着根节点递归左右儿子，直到其中一棵没有对应结点就停止。代码长这样：
int merge(int r1,int r2){
if(!r1||!r2)return r1|r2;
cnt[r1]+=cnt[r2];
c[r1][0]=merge(c[r1][0],c[r2][0]);
c[r1][1]=merge(c[r1][1],c[r2][1]);
return r1;
}
这样做看起来是很暴力的。那就来稍微看一下时间复杂度的问题。
只有两棵 Trie 里都有一样的元素 \(a\) ，它才会每次合并贡献 \(\log\) 的时间复杂度。
假设它出现了 \(x\) 次，那就会在至多 \(x\) 次合并里同时在两棵树里出现，对应的合并次数是 \(\sum x=n\) 次，总时间复杂度是 \(O(n\log n)\) 。
于是就可以写这道题了。dfs时每个节点建新 Trie ，和子节点合并，退出时执行 Part1 里的修改操作，递归回去即可。
