马拉车算法(manacher)
前言
马拉车算法是一个能在线性时间能求出最长回文串长度的算法。
个人感觉和kmp也许有异曲同工之妙。
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首先，我们的目标是求出最长回文子串的长度。
暴力相信大家都会，先是枚举L和R然后O(n)判断每个子串是否是回文串，总时间复杂度\(O(n^3)\)。
稍微优化一下，枚举中间点mid,贪心地向两端扩展找到最长的\(len[i]\)，即以i为回文串中心的最大扩展长度。当然，我们发现这样只能处理回文串长度为奇数的情况。所以对于这个暴力，我们有了一个新思路：在两个相邻字符之间插入一个不会出现的字符。
比如aabba，我们把它变成#a#a#b#b#a#，这样每个点向两边扩展出的就一定是奇数长度的\(len[i]\)了。于是这个暴力的时间复杂度就是\(O(n^2)\)。下面所使用的字符串也是经过了这样的变换的。
这也正打开了马拉车算法的大门。
众所周知，对暴力算法的优化是对重复计算的优化以及已知信息的利用。
先来看重复的计算。
在上面\(O(n^2)\)的算法中，我们对很多子串进行了重复搜索，最明显的就是，假设i和j都在同一个回文子串内并且关于中心对称，那么\(len[j]>=len[i]\)。这是显然的。
于是我们考虑设置一个变量\(mid\)，表示上面那个回文子串的中心，\(mr(maxright)\)表示这个回文子串的右端点。
哦对了，这个回文子串是当前右端点最大的回文子串，所以叫做maxright。
当我们目前遍历到的i是小于mr的时候，即下图这种情况。
如图，我们找到i的对称点i'，发现可以用 2*mid-i得到，于是 len[i]=len[mid*2-i]，但是这个对称只在我们以mid为重心的回文串中可以用，所以 i+len[i]<=mr,len[i]<=mr-i，综合，len[i]=min(len[mid*2-i],mr-i)。
接下来是另一种情况，也就是i在mr的右边，i>=mr。
此时，我们没有多余的信息可以利用了，只能以i为重心开始和上面说的一样暴力地拓展找len[i]，那么此时我们的i就是新的mid，找到的i+len[i]就是新的mr。
那么这样的时间复杂度为什么是O(n)的呢？
首先考虑i<mr的情况，用了对称性之后基本无法再找到更优的解，所以这一步是O(1)的。
最令人迷惑的就是i>=mr的时候。
看似这样while去找新的len是非常浪费时间的，但是我们在这一步扩展了mr，并且mr会且只会从1被扩展到n，所以mr的扩展总共是O(n)的，mr不扩展的时候也就是i<mr的时候是O(1)的。
于是总的时间复杂度就是O(n)。
模板题代码；
#include<bits/stdc++.h>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define reg register
using namespace std;
const int N=2.2e7+10;
char d[N];
int hw[N],n;
void read()
{
char ch=getchar();
d[0]=d[++n]='#';
while(ch<'a'||ch>'z')ch=getchar();
while(ch>='a'&&ch<='z')d[++n]=ch,d[++n]='#',ch=getchar();
}
void manacher()
{
int mr=0,mid;
for(reg int i=1;i<n;i++)
{
if(i<mr)hw[i]=min(hw[(mid<<1)-i],mid+hw[mid]-i);
else hw[i]=1;
while(d[i+hw[i]]==d[i-hw[i]])hw[i]++;
if(i+hw[i]>mr)mr=hw[i]+i,mid=i;
}
}
int main()
{
reg int ans=1;
read();
manacher();
for(reg int i=0;i<n;i++)
ans=max(ans,hw[i]);
printf("%d\n",ans-1);
return 0;
}
