P2508 [HAOI2008]圆上的整点
题意：求半径为\(r\)的圆上有多少个整点，即求\(x^2+y^2=r^2\)有多少组整数解。
我们考虑把\(r^2=x^2+y^2\)变形，得到\(r^2=x^2-(-y^2)=(x+yi)(x-yi)\)。
所以我们就需要考虑通过分解\(r^2\)可以得到多少组不同的\((x+yi)(x-yi)\)。
我们考虑如果有若干对共轭复数分别放在两边，最后得到的也是一对共轭复数，相乘就可以得到整数，我们希望这个整数是\(r\)。
那么就考虑如何求并分配这若干对共轭复数。
费马平方和定理：奇素数 p 可以表示为两个正整数的平方和，当且仅当 p 是 4 k+1 型的。并且在不考虑两个正整数顺序的情况下，这个表示方法唯一。
引入一个概念：高斯素数，即3,7这样形似4 n+3的素数，他们一定不能被分成\((x+yi)(x-yi)\)的形式。
否则，如果是形似4 n+1的素数，一定能被分成\((x+yi)(x-yi)\)的形式。
那么是否还忽略了某个素数呢？没错，2要特殊考虑，虽然它能被分成\(1^2+1^2=(1+i)(1-i)\)，但特殊的是它所分解出的这两个高斯整数的夹角还刚好是90度，这个要在计算答案的时候特殊考虑一下。
根据整数的惟一分解定理，我们可以让\(r=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*...*p_k^{r_k}\)。考虑每个质因子对答案的影响。
如果这个因子不是高斯素数，也就是它能被分解成\((x+yi)(x-yi)\)，假设它的幂次是\(m\)，那么我们可以得到\(m\)对\(z:(a+bi)\)和\(\overline z:(a-bi)\)，考虑怎么分配。我们可以在左边分配\([0,m]\)个\(z\),右边分配剩下的\(z\)，其他的就填\(\overline z\)。这样它对答案的贡献就是\(m+1\)。
如果这个因子是高斯因数，也就是它不能被分解成\((x+yi)(x-yi)\)，但是我们又一定要最后得到的等式两边共轭，所以只有当它的幂次\(m\)是偶数的时候，才能平均的分配到两边，否则就无解。
当然，我们也可以把\((x+yi),(x-yi)\)乘上\(-1,i,-i\)得到新的分解\((-x-yi),(-x+yi),(-y+xi),(y+xi),(y-xi),(-y-xi)\)，所以我们还要把最后的答案乘上4.
等等，是不是忘了什么？素数2还没有在我们讨论的范围中。它可以分为\((1+i)(1-i)\)，我们还是选择放到两边，但是我们对它分解得到的两个共轭复数来乘上\(-1,i,-i\)，得到的分解是\((-1-i),(-1+i),(-1+i),(1+i),(1-i),(-1-i)\)，我们可以发现这样会得到重复的复数。
不妨在几何中理解一下。
上面的乘上\(-1,i,-i\)其实就是把\((a+bi),(a-bi)\)两个点旋转起来，但是当这两个点的夹角是90度的时候，这旋转不能得到新的解，所以2对答案没有影响。
所以最后的答案就是，将\(r^2\)进行质因数分解，一个高斯素数\(p^m\)若m是奇数，答案为0，否则不会对答案造成影响，一个非高斯素数\(p^m\)对答案的贡献是\(m+1\)，2忽略不计。
但是由于\(r^2\)里的每一个质数的指数一定是偶数，所以答案不会为0。其他的就没有问题了。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
int ans(int n){
int res=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
int cnt=0;
while(n%i==0)n/=i,cnt++;
if(i%4==1)res*=(cnt<<1|1);
}
}
if(n!=1&&n%4==1)res*=(2+1);
return res<<2;
}
signed main(){
int n;
cin>>n;
cout<<ans(n)<<endl;
return 0;
}
